Continuidad de función en el origen

Denotaré:
senx = sen(x)
multiplicación = nada o · si hay confusión
dx,dy = diferenciales
| = división pero menos precedencia que la suma, es decir, x + y | z es (x+y)/z.
x^y : exponenciación
- Continua en el origen:
Para un punto cercano al origen (dx,dy), se tiene:
dy^2·sendx | dx^4 + dy^2 =
dy^2·(dx+dxde) | dx^4 + dy^2 =
dy^2·dx(1+de) | dx^4 + dy^2 (if dx>0) <
< dy^2·dx(1+de) | dy^2 =
dx(1+de) ~ 0
==> dy^2·sendx | dx^4 + dy^2 ~ 0
if dx<0, we have
0 > dy^2·dx(1+de) | dx^4 + dy^2 >
-dy^2·dx(1+de) | dy^2
= -dx(1+de) ~ 0
Y, por tanto, f(dx, dy)~0
(~ Significa infinitamente próximo)
Luego, sí, f es continua en el origen.
Derivabilidad:
Supongo que te refieres a la existencia de derivadas parciales en el origen.
Derivada a lo largo del eje X:
f(dx,0) - f(0,0) | dx = (como f(0,0)=0)
f(dx,0) | dx =
0 | (dx^4 + 0)dx = 0
De donde D1f(0,0) = 0.
Derivada a lo largo del eje Y:
f(0,dy) - f(0,0) | dy =
f(0,dy) | dy =
dy^2·sen(0) | (0 + dy^2)dy =
0 | dy^3 = 0
De donde D2f(0,0) = 0.
Luego, sí, f es derivable (parcialmente)en el origen.
Finalmente, para la diferenciabilidad de f, como sabemos que D1f(0,0)=D2f(0,0)=0, te aconsejo que calcules las derivadas parciales de f en un punto distinto de (0,0), que se hace como siempre, por ejemplo, para D1f(x, y) suponemos y constante, y aplicamos las reglas de derivación normales. Luego tendrías que comprobar que tanto D1f como D2f son continuas en 0. Si todo esto se puede hacer y se cumple, es condición suficiente para que f sea diferenciable.
DM