Ayuda con este ejercicio, por favor?

Calcularemos los candidatos a máximos y mínimos derivando e igualando la derivada a cero.

f(x) = 2x^3 - 9x^2 + x

f '(x) = 6x^2 - 18x + 1 = 0

$$\begin{align}&x=\frac{18\pm \sqrt{18^2-24}}{12}=\\ &\\ &\frac{18\pm \sqrt{300}}{12}=\frac{18\pm 10 \sqrt 3}{12}=\\ &\\ &\frac {9 \pm 5 \sqrt{3}}{6}\\ &\\ &x_1=\frac {9 + 5 \sqrt{3}}{6}\approx 2.94337567\\ &\\ &x_2=\frac {9 - 5 \sqrt{3}}{6}\approx 0.056624327\end{align}$$

Para saber si son máximos o mínimos calculamos la derivada segunda

f ''(x) = 12x-18

$$\begin{align}&f´´(x_1)=12\left(\frac {9 + 5 \sqrt{3}}{6}\right)-18= \\ &18+10 \sqrt 3-18= 10 \sqrt 3\\ &\\ &\\ &f´´(x_2)=12\left(\frac {9 - 5 \sqrt{3}}{6}\right)-18= \\ &18-10 \sqrt 3-18= -10 \sqrt 3\end{align}$$

f ''(x1) es positiva luego x1 es un mínimo

f ''(x2) es negativa luego x2 es un máximo

Para saber si es creciente o decreciente miramos el signo de la derivada primera

Para x entre -oo y x2=0.056624327 miramos el valor en 0

f '(0) = 6·0 - 18·0 +1 =1

es positiva, luego la función es creciente

Entre x2=0.056624327 y x1=2.94337567 tomamos el valor x=1

f '(1) = 6-18+1 = -11

es negativa, luego y función es decreciente

Y entre x1= 2.94337567 y +oo tomamos x=3

f '(3) = 6·3^2 - 18·3 + 1 = 54-54+1 = 1

Es positiva luego la función es creciente.