Teorema del Valor Medio para la Derivada

Existen dos teoremas del valor medio: el teorema del valor medio de Cauchy, así como el teorema del valor medio de Lagrange, siendo éste último un caso particular del anterior, y el que realmente tiene una interpretación geométrica.
El hecho de que se use la función que mencionas:
h(x)=f(x)(b-a)-x(f(b)-f(a))
Es porque a esa función se le puede aplicar el teorema de Rolle para poder demostrar el teorema de Lagrange. De todas formas, tal como yo lo entiendo, tu caso es un caso particular, y se la aplicaremos a la función
h(x)=f(x)[g(b)-g(a)]-g(x)[f(b)-f(a)]
tal como hizo Cauchy. Después haciendo
g(x)=x
con lo que
g(b)=b
g(a)=a
Demostraremos el teorema de Lagrange, que es el que tiene una interpretación geométrica.
Teorema de rolle
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Sea f(x) una función continua en una intervalo [a,b] y derivable en (a, b) tal que f(a)=f(b). Entonces existe c perteneciente al intervalo (a, b) tal que f'(c)=0
Este teorema es algo así como decir, todo lo que sube baja y todo lo que baja sube. Su demostración geométrica es obvia ( no así la matemática).
Usando este teorema, Cauchy expuso éste otro
Teorema de Cauchy
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Sea f(x) y g(x) dos funciones continuas en [a,b] y derivables en (a, b). Entonces existe un punto c perteneciente a (a, b) tal que
f'(c)/g'(c)=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]
Definimos:
h(x)=f(x)[g(b)-g(a)]-g(x)[f(b)-f(a)]
Entonces
h(a)=f(a)[g(b)-g(a)]-g(a)[f(b)-f(a)]
h(a)=f(a)g(b)-f(a)g(a)-g(a)f(b)+g(a)f(a)
h(a)=f(a)g(b)-g(a)f(b)
h(b)=f(b)[g(b)-g(a)]-g(b)[f(b)-f(a)]
h(b)=f(b)g(b)-f(b)g(a)-g(b)f(b)+g(b)f(a)
h(b)=g(b)f(a)-f(b)g(a)
O sea
h(a)=h(b)
Y por construcción h(x) es continua y derivable, con lo que le podemos aplicar el teorema de Rolle.
Como
h'(x)=f'(x)[g(b)-g(a)]-g'(x)[f(b)-f(a)]
Aplicando Rolle, existirá c en (a,b) tal que
h'(c)=f'(c)[g(b)-g(a)]-g'(c)[f(b)-f(a)]=0
f'(c)[g(b)-g(a)]=g'(c)[f(b)-f(a)]
f'(c)/g'(c)=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]
Que es lo que nos dice el teorema de Cauchy.
La interpretación geométrica del teorema no es fácil de ver, pero sí la del siguiente teorema
Continúa
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Teorema de lagrange
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Sea f(x) continua en [a,b] y derivable en (a, b). Entonces existe un c perteneciente a (a, b) tal que
f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)
Haciendo
g(x)=x
g'(x)=1
g(a)=a
g(b)=b
y aplicando a f(x) y g(x) el teorema de Cauchy, existe c en (a,b) tal que
f'(c)/g'(c)=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]
f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)
Si hubieras aplicado el teorema de Rolle a la función que mencionas, habrías demostrado el teorema de Lagrange históricamente, pero no fue así.
Es decir, desde un punto de vista histórico se usó la función
h(x)=f(x)[g(b)-g(a)]-g(x)[f(b)-f(a)]
Porque mediante ella, aplicando el teorema de Rolle, Cauchy pudo enunciar su teorema del valor medio.
Posteriormente Lagrange enunció su teorema del valor medio aplicando el teorema de Cauchy a un caso especial.
Este teorema tiene una perfecta demostración geométrica.
...
Continúa

Dibuja unos ejes de coordenadas, y en un intervalo (a, b) dibuja una función continua (sin saltos) y derivable (sin picos)
Une los puntos
(a,f(a)) y (b,f(b))
Te quedará una recta de pendiente
m=[f(b)-f(a)]/(b-a)
Bien, ¿y qué nos dice el teorema de Lagrange?. Pues que entre a y b habrá al menos un punto ( aunque pueden ser más), tal que la derivada es
f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)=m
Como la derivada es la pendiente de la recta tangente, y dos rectas con la misma pendiente son paralelas, lo único que nos dice es que si trazas paralelas a la recta que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b))
Al menos una de ellas ( o más), es tangente a la función f(x).
Trata de dibujar diferentes funciones y verás que esto ocurre siempre.
Otras utilidades de estos teoremas es acotar expresiones en desigualdades.