Ecuación diferencial

La ecuación dx/dt = -3kx +18k
se puede reducir a homogénea mediante un cambio de variable
x1 = x + h
Calculamos ese h
dx1/dt = dx/dt = -3k(x1+h) + 18k = -3kx1 - 3kh +18k
Nos interesa que
-3kh +18k = 0
Luego
h = 18k/(3k) = 6
Pues con el cambio
x1 = x + 6 llegamos a
dx1/dt = -3kx1 que es de variables separadas
dx1/(-3kx1) = dt intregramos ambos lados
-(1/(3k))ln(x1) = t + C
ln[x1^(-1/(3k))] = t + C aplicamos la inversa d ln(x) que es e^x
x1^[-1/(3k)] = e^(C+t) elevamos a la -3k
x1 = e^[-3k(C+t)] = e^(-3kC) · e^(-3kt)
e^(-3kC) es una constante llamémosla C de nuevo
x1 = C·e^(-3kt) deahagamos el cambio de variable
x-6 = C·e^(-3kt)
x = C·e^(-3kt) + 6
Usemos los valores que nos proporcionan para despejar C y k
3 = C e^(-3k0) + 6 = C + 6
C = 3-6 = 3
Luego de momento
x = -3e^(-3kt) + 6
Y ahora el otro valor
4 = -3e^(-3k5) + 6
-2 = -3 e^(-15k)
2/3 = e^(-15k)
ln(2/3) = -15k
k = (-1/15)ln(2/3)
Y eso es todo.