Con log te refieres al logaritmo neperiano ( en base e) o al logaritmo decimal. Que de las dos formas suele usarse según los autores.
No me dice cual pero me imagino que es logaritmo neperiano
Pues vamos con ellos. a) lim x--> infinito de [1+sen(1/x)]^x 1/x tenderá a cero luego el seno también a cero y será una indeterminación del 1 a la infinito que se vienen a resolver copn el número e Recuerdo que había dos definiciones e = lim x --> infinito de (1+1/x)^x e = lim h --> 0 de (1+h)^(1/h). En nuestro caso sen(1/x) tiende a cero cuando x tiende a infinito, tomaremos la segunda definición y manipularemos el exponente para que aparezca una expresión tal como en la definición. Es decir, en el exponente tendremos que poner 1/sen(1/x). Siempre tenemos la opción de multiplicar y dividir por eso y lo consiguiremos lim x--> infinito de [1+sen(1/x)]^x·sen(1/x)/sen(1/x) = podemos ponerlo más claro lim x--> infinito de {[1+sen(1/x)]^1/sen(1/x)}^[xsen(1/x)] = Lo de dentro de las llaves es el número e, llamando h = sen(1/x) tenemos la segunda definición, luego lim x-->infinito de e^[xsen(1/x)] Ahora bien, podemos expresarlo de otra forma que puedes comprobar que está bien haciendo la división: xsen(1/x) = sen(1/x) / (1/x) Y este es un límite de la forma sen(algo)/algo cuando algo tiende a cero que es de sobra sabido y comprobable que vale 1. Luego xsen(1/x) tiende a 1 y nuestro límite queda e^1 = e ------------------- b) lim h-->0 [log(3+h) - log(3)] / h Estamos ante la definición exacta de la derivada de log(x) en el punto x=3 Y si log es el ln de toda la vida tenemos log'(x) = 1/x. Luego: lim h-->0 [log(3+h) - log(3)] / h = 1/3 También podría haceerse por las propiedades de los logaritmos lim h-->0 [log(3+h) - log(3)] / h = lim h-->0 de log[(3+h)/3]^(1/h) = lim h-->0 de log[(1+h/3]^(1/h) = Pongamos el exponente de la forma 1/(h/3) por algo, puede comprobarse que 1/h = (1/3) [1/(h/3)] con ello y extrayendo el número e que se forma dentro , nuestro límite será lim h-->0 de log[e^(1/3)] = 1/3 Y eso es todo, espero que lo hallas entendido. No olvides puntuar.