Limites con logaritmos

Ayuda por fa:
lim x-->inf [1+sen(1/x)]^x
lim h-->0 [log(3+h)-log(3)]/h
Gracias.
1

1 respuesta

1
Respuesta de
¡Hola Esteban!
Con log te refieres al logaritmo neperiano ( en base e) o al logaritmo decimal. Que de las dos formas suele usarse según los autores.
Un saludo.
No me dice cual pero me imagino que es logaritmo neperiano
Pues vamos con ellos.
a) lim x--> infinito de [1+sen(1/x)]^x
1/x tenderá a cero luego el seno también a cero y será una indeterminación del 1 a la infinito que se vienen a resolver copn el número e
Recuerdo que había dos definiciones
e = lim x --> infinito de (1+1/x)^x
e = lim h --> 0 de (1+h)^(1/h).
En nuestro caso sen(1/x) tiende a cero cuando x tiende a infinito, tomaremos la segunda definición y manipularemos el exponente para que aparezca una expresión tal como en la definición. Es decir, en el exponente tendremos que poner 1/sen(1/x). Siempre tenemos la opción de multiplicar y dividir por eso y lo consiguiremos
lim x--> infinito de [1+sen(1/x)]^x·sen(1/x)/sen(1/x) =
podemos ponerlo más claro
lim x--> infinito de {[1+sen(1/x)]^1/sen(1/x)}^[xsen(1/x)] =
Lo de dentro de las llaves es el número e, llamando h = sen(1/x) tenemos la segunda definición, luego
lim x-->infinito de e^[xsen(1/x)]
Ahora bien, podemos expresarlo de otra forma que puedes comprobar que está bien haciendo la división:
xsen(1/x) = sen(1/x) / (1/x)
Y este es un límite de la forma sen(algo)/algo cuando algo tiende a cero que es de sobra sabido y comprobable que vale 1.
Luego xsen(1/x) tiende a 1 y nuestro límite queda e^1 = e
-------------------
b) lim h-->0 [log(3+h) - log(3)] / h
Estamos ante la definición exacta de la derivada de log(x) en el punto x=3
Y si log es el ln de toda la vida tenemos log'(x) = 1/x.
Luego:
lim h-->0 [log(3+h) - log(3)] / h = 1/3
También podría haceerse por las propiedades de los logaritmos
lim h-->0 [log(3+h) - log(3)] / h = lim h-->0 de log[(3+h)/3]^(1/h) =
lim h-->0 de log[(1+h/3]^(1/h) =
Pongamos el exponente de la forma 1/(h/3) por algo, puede comprobarse que
1/h = (1/3) [1/(h/3)]
con ello y extrayendo el número e que se forma dentro , nuestro límite será
lim h-->0 de log[e^(1/3)] = 1/3
Y eso es todo, espero que lo hallas entendido. No olvides puntuar.
Un saludo.
Añade un comentario a esta respuesta
Añade tu respuesta
Haz clic para o
Escribe tu mensaje
¿No es la respuesta que estabas buscando? Puedes explorar otras preguntas del tema Matemáticas o hacer tu propia pregunta: