Limites con logaritmos

Respuesta de
Usuario
Ayuda por fa:

lim x-->inf [1+sen(1/x)]^x



lim h-->0 [log(3+h)-log(3)]/h



Gracias.
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Experto
¡Hola Esteban!

Con log te refieres al logaritmo neperiano ( en base e) o al logaritmo decimal. Que de las dos formas suele usarse según los autores.

Un saludo.
Usuario
No me dice cual pero me imagino que es logaritmo neperiano
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Experto
Pues vamos con ellos.

a) lim x--> infinito de [1+sen(1/x)]^x

1/x tenderá a cero luego el seno también a cero y será una indeterminación del 1 a la infinito que se vienen a resolver copn el número e

Recuerdo que había dos definiciones

e = lim x --> infinito de (1+1/x)^x

e = lim h --> 0 de (1+h)^(1/h).

En nuestro caso sen(1/x) tiende a cero cuando x tiende a infinito, tomaremos la segunda definición y manipularemos el exponente para que aparezca una expresión tal como en la definición. Es decir, en el exponente tendremos que poner 1/sen(1/x). Siempre tenemos la opción de multiplicar y dividir por eso y lo consiguiremos

lim x--> infinito de [1+sen(1/x)]^x·sen(1/x)/sen(1/x) =

podemos ponerlo más claro

lim x--> infinito de {[1+sen(1/x)]^1/sen(1/x)}^[xsen(1/x)] =

Lo de dentro de las llaves es el número e, llamando h = sen(1/x) tenemos la segunda definición, luego

lim x-->infinito de e^[xsen(1/x)]

Ahora bien, podemos expresarlo de otra forma que puedes comprobar que está bien haciendo la división:

xsen(1/x) = sen(1/x) / (1/x)

Y este es un límite de la forma sen(algo)/algo cuando algo tiende a cero que es de sobra sabido y comprobable que vale 1.

Luego xsen(1/x) tiende a 1 y nuestro límite queda e^1 = e

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b) lim h-->0 [log(3+h) - log(3)] / h

Estamos ante la definición exacta de la derivada de log(x) en el punto x=3

Y si log es el ln de toda la vida tenemos log'(x) = 1/x.

Luego:

lim h-->0 [log(3+h) - log(3)] / h = 1/3

También podría haceerse por las propiedades de los logaritmos

lim h-->0 [log(3+h) - log(3)] / h = lim h-->0 de log[(3+h)/3]^(1/h) =

lim h-->0 de log[(1+h/3]^(1/h) =

Pongamos el exponente de la forma 1/(h/3) por algo, puede comprobarse que

1/h = (1/3) [1/(h/3)]

con ello y extrayendo el número e que se forma dentro , nuestro límite será

lim h-->0 de log[e^(1/3)] = 1/3



Y eso es todo, espero que lo hallas entendido. No olvides puntuar.

Un saludo.