Problemas matemáticos

1)La suma de dos números es 28 y la suma de sus cuadrados es 394 ¿cuáles son los números?
Sean por, y los números
x + y = 28
x^2 + y^2 = 395
Despejamos y en la primera y o sustituimos en la segunda
y = 28 - x
x^2 + (28-x)^2 = 394
x^2 + 28^2 + x^2 - 56x = 394
2x^2 + 784 - 56x = 394
2x^2 - 56x +784 - 394 = 0
2x^2 - 56x +390 = 0
x = [56 +- sqrt(56^2 - 4·2·390)] / (2·2) =
[56 +- sqrt(3136 - 3120)] / 4 =
[56 +- sqrt(16)] / 4 =
[56 +- 4] / 4 = 15 y 13
Luego x = 13 ó 15
Ahora despejamos y
y = 28 - x = 28-13 =15 ó 28-15 = 13
Era lo lógico, ambos números tenían igual papel y había dos respuestas porque se podían intercambiar.
Los números son 13 y 15
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2) La diferencia de los cuadrados de dos números es 48 y el numero mayor es el doble del menor ¿cuáles son los números?
Sean por el mayor e y el menor
x^2 - y^2 = 48
x = 2y
Sustituimos x en la primera
(2y)^2 - y^2 = 48
4y^2 - y^2 = 48
3y^2 = 48
y^2 = 16
y = sqrt(16) = 4
x = 2y = 2·4 = 8
Los números son 4 y 8
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3-Si al numerador de una fracción se le añade 3, el valor de la fracción es 5; y si al numerador se le resta 4, el valor de la fracción es 3/2 ¿cuál es la fracción?.
Sea por el numerador e y el denominador. La fracción es x/y
(x+3)/y = 5
(x-4)/y = 3/2
Normalizamos las ecuaciones pasando denominadores al miembro opuesto
x+3 = 5y ==> x = 5y - 3
2(x-4) = 3y ==> 2x - 8 = 3y
Ya dejé la primera ecuación con la x despejada para sustituirla en la segunda
2(5y - 3) - 8 = 3y
10y - 6 - 8 = 3y
7y = 14
y = 2
y ahora calculamos x
x = 5y - 3 = 10 - 3 = 7
La fracción es 7/2
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4. Hace 10 años la diferencia de las edades de jose y maría era de 13 años y hoy la suma de sus edades es de 111 años ¿qué edad tienen actualmente cada uno?
Sea por la edad actual de Jose e y la de María
Con la expresión "diferencia de las edades de José y María" no se suele ser muy preciso, es mejor decir la edade de José menos la de María o viceversa. Supondré que quieren decir José menos María.
Es una melonada porque la diferencia de edades es la misma hoy que hace diez años, pero voy a poner la primera ecuación tal como dicen ellos
(x -10) - (y - 10) =13 ==> x - 10 - y + 10 = 13 ==> x - y = 13
x + y = 111
Sumamos las dos ecuaciones
x + x - y + y = 111 + 13
2x = 124
x = 62
y = x - 13 = 62 - 13 = 49
La edad de José es 62 y la de María 49
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5) Es el mismo que el segundo, ya está resuelto.
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Anatoh, no tengo inconveniente en responder tantos problemas tengas, siempre que se califique adecuadamente (máximo). Pero cuatro problemas en una misma pregunta es mucho más de lo que piden otras personas. Deberías distribuirlos en varias preguntas.
Espero que te sirva y lo hallas entendido. No olvides puntuar.