Inversa de Laplace

Pues no ha quedado nada en mi memoria de la inversa de Laplace, es curioso como hay cosas que se borran completamente a los 30 años o antes. Pero ese método se empleaba para integrar funciones racionales y de eso si me acuerdo y veamos si te puedo ayudar:
Se debe descomponer como suma de estas fracciones:
     as + b c d
-------------- +  ------------  +  -------------     
  s^2 + 1            s-1               (s-1)^2
Ahora hay que determinar A, B, C y D. Para ello heremos el algoritmo de la suma de fracciones e igualaremos el numerador con 2, porque ese es el numerador de tu ecuación.
(as + b)(s-1)^2 + c(s-1)(s^2+1) + d(s^2 + 1) = 2
as^3 + as - 2as^2 + bs^2 + b - 2bs + cs^3 + cs - cs^2 - c + ds^2 + d = 2
(a + c)s^3 + (-2a + b - c + d)s^2 + (a -2b +c)s + (b - c + d) = 2
Hay que igualar los coeficientes del polinomio izquierdo con el derecho, luego
   a +        c        = 0
-2a +  b -  c + d = 0
   a - 2b + c       = 0
          b -  c + d = 2
Lo resuelvo a mi bola sin dar detalles:
1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 a = 1
0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 b = 0
0 2 0 0 0 0 0 -2 -2 0 d = 1
0 1 -1 1 2 0 0 -2 0 2 c = -1
Luego la descomposición en fracciones es:
2/((s^2+1)(s-1)^2) = s/(s^2+1)  - 1/(s-1) + 1/(s-1)^2
Y hasta aquí puedo ayudarte, lo que viene después ya tendría que volver a estudiarlo. Creo recordar que es muy sencillo para las fracciones 2 y 3 pero complicado para la primera.
Y eso es todo. Espero que te haya servido y lo hallas entendido. Si no vas a hacer más consultas no olvides puntuar la pregunta para que quede cerrada.