Ayuda con las cónicas
Saludos! Necesito que me resuelvan estos ejercicios de cónicas! ( Nivel: 1º bachillerato)
1- comprueba qe la siguiente expresión x^2 + y^2 - 8x + 2y +8 = 0 corresponde a la ecuación general de una circunferencia y obtén su centro y su radio.
2- Halla el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a los puntos (5,0) y (-5,0) es 26. ¿Qué cónica se obtiene? Halla sus elementos y represéntala gráficamente.
3- Halla el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los puntos (4,0) y (-4,0) es 6. ¿qué cónica se obtiene? Halla sus elementos y represéntala gráficamente.
4- Escribe la ecuación de la parábola de foco F(2,1) y directriz y + 3 = 0
Muchísimas gracias :)
1- comprueba qe la siguiente expresión x^2 + y^2 - 8x + 2y +8 = 0 corresponde a la ecuación general de una circunferencia y obtén su centro y su radio.
2- Halla el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a los puntos (5,0) y (-5,0) es 26. ¿Qué cónica se obtiene? Halla sus elementos y represéntala gráficamente.
3- Halla el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los puntos (4,0) y (-4,0) es 6. ¿qué cónica se obtiene? Halla sus elementos y represéntala gráficamente.
4- Escribe la ecuación de la parábola de foco F(2,1) y directriz y + 3 = 0
Muchísimas gracias :)
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
1) Tiene toda la pinta de ser la ecuación de una circunferencia en la forma:
x^2 + y^2 + mx + ny + p= 0 donde m=-8, n=2 y p=8
Dicha ecuación también puede representarse asi:
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
donde el centro sería (a,b) y el radio r
Creo que en tu libro te pondrá que la relación entre una ecuación y otra es:
a = - m/2 b = - n/2 r = sqrt(a^2 + b^2 - p)
Yo lo he sacado de un antiguo libro de 3 BUP, lo que se estudiaba a los 17 años.
Entonces a = - (-8) / 2 = 4
b = - 2 / 2 = - 2
r = sqrt(4^2 + (-2)^2 - 8) = sqrt(16+4-8) = sqrt(12) = 3,4641016
Luego es una circunferencia con centro en (4, -2) y radio 3,4641016.
2) No sé cómo quieren que lo resuelvas. Si a pelo o sabiendo de antemano que es una elipse y usar algún método concreto.
A pelo sería:
Sea (x, y) un punto de es lugar geométrico. Llamando de a la función distancia entre dos puntos debe cumplir lo siguiente:
d((x,y), (5,0)) + d((x,y), (-5,0)) = 26
La función d((x,y), (z,t)) es sqrt((x-z)^2 + (y-t)^2) por lo que:
sqrt((x-5)^2 + y^2) + sqrt ((x+5)^2 + y^2) = 26
y habría que elevar al cuadrado y simplificar, pero creo que es muy fuerte para ese nivel de estudios y para cualquiera.
Voy a suponer que te permiten usar la ecuación
(x^2) / (a^2) + (y^2)/(b^2) = 1
para la elipse centrada con a = semieje en x, b = semieje en y, c = semidistancia focal y la relación c^2+b^2=a^2 y siendo 2a la suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a los focos.
Entonces a = 26/2 = 13
La semidistancia focal es la mitad de la distancia entre los focos, osea, 5.
Con estos datos se calcula b = sqrt(a^2-c^2) = sqrt(13^2-5^2) = sqrt(144)=12
y queda esta ecuación para la elipse:
(x^2)/169 + (y^2)/25 = 1
3) Aquí estamos ante una hipérbola. Su ecuación reducida, que podemos aplicar por estar centrada la hipérbola, es de la forma:
(x^2)/(a^2) - (y^2)/(b^2) = 1
Para la hipérbola, la relación entre a,b y c=semidistancia focal es c^2=a^2+b^2
a = 6 / 2 = 3
c = 4
b = sqrt(c^2-a^2) = sqrt(16-9) = sqrt(7) = 2,6457513
y queda esta ecuación para la hipérbola
x^2 / 9 - y^2 / 7 = 1
4) Los puntos de la parábola son los que equidistan de la recta y + 3 = 0 y del punto (2,1)
La distancia entre dos puntos ya escribíamos arriba como se calculaba. La distancia de un punto a un recta paralela al eje X es fácil deducirla (haz el dibujo si tienes duda), en esta caso para un punto (x, y) será y+3. Pondremos ya el cuadrado de la distancia desde el inicio.
(x-2)^2 + (y-1)^2 = (y+3)^2
x^2 + 4 - 4x + y^2 +1 - 2y = y^2 + 9 +6y
x^2 - 4x - 2y - 4 = 0
Bueno, eso es todo. La dificultad que he tenido es no tener tu libro para ver como lo explica y como lo hace, pero lo que he hecho sirve igual. No te olvides de puntuar y cerrar la pregunta.
x^2 + y^2 + mx + ny + p= 0 donde m=-8, n=2 y p=8
Dicha ecuación también puede representarse asi:
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
donde el centro sería (a,b) y el radio r
Creo que en tu libro te pondrá que la relación entre una ecuación y otra es:
a = - m/2 b = - n/2 r = sqrt(a^2 + b^2 - p)
Yo lo he sacado de un antiguo libro de 3 BUP, lo que se estudiaba a los 17 años.
Entonces a = - (-8) / 2 = 4
b = - 2 / 2 = - 2
r = sqrt(4^2 + (-2)^2 - 8) = sqrt(16+4-8) = sqrt(12) = 3,4641016
Luego es una circunferencia con centro en (4, -2) y radio 3,4641016.
2) No sé cómo quieren que lo resuelvas. Si a pelo o sabiendo de antemano que es una elipse y usar algún método concreto.
A pelo sería:
Sea (x, y) un punto de es lugar geométrico. Llamando de a la función distancia entre dos puntos debe cumplir lo siguiente:
d((x,y), (5,0)) + d((x,y), (-5,0)) = 26
La función d((x,y), (z,t)) es sqrt((x-z)^2 + (y-t)^2) por lo que:
sqrt((x-5)^2 + y^2) + sqrt ((x+5)^2 + y^2) = 26
y habría que elevar al cuadrado y simplificar, pero creo que es muy fuerte para ese nivel de estudios y para cualquiera.
Voy a suponer que te permiten usar la ecuación
(x^2) / (a^2) + (y^2)/(b^2) = 1
para la elipse centrada con a = semieje en x, b = semieje en y, c = semidistancia focal y la relación c^2+b^2=a^2 y siendo 2a la suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a los focos.
Entonces a = 26/2 = 13
La semidistancia focal es la mitad de la distancia entre los focos, osea, 5.
Con estos datos se calcula b = sqrt(a^2-c^2) = sqrt(13^2-5^2) = sqrt(144)=12
y queda esta ecuación para la elipse:
(x^2)/169 + (y^2)/25 = 1
3) Aquí estamos ante una hipérbola. Su ecuación reducida, que podemos aplicar por estar centrada la hipérbola, es de la forma:
(x^2)/(a^2) - (y^2)/(b^2) = 1
Para la hipérbola, la relación entre a,b y c=semidistancia focal es c^2=a^2+b^2
a = 6 / 2 = 3
c = 4
b = sqrt(c^2-a^2) = sqrt(16-9) = sqrt(7) = 2,6457513
y queda esta ecuación para la hipérbola
x^2 / 9 - y^2 / 7 = 1
4) Los puntos de la parábola son los que equidistan de la recta y + 3 = 0 y del punto (2,1)
La distancia entre dos puntos ya escribíamos arriba como se calculaba. La distancia de un punto a un recta paralela al eje X es fácil deducirla (haz el dibujo si tienes duda), en esta caso para un punto (x, y) será y+3. Pondremos ya el cuadrado de la distancia desde el inicio.
(x-2)^2 + (y-1)^2 = (y+3)^2
x^2 + 4 - 4x + y^2 +1 - 2y = y^2 + 9 +6y
x^2 - 4x - 2y - 4 = 0
Bueno, eso es todo. La dificultad que he tenido es no tener tu libro para ver como lo explica y como lo hace, pero lo que he hecho sirve igual. No te olvides de puntuar y cerrar la pregunta.
