Necesito, un problemade aplicación de integrales

Uno fácil: el área de un rectángulo de lados a y b.
Supone que el rectángulo lo tienes dibujado en el plano (por eso calculamos el área), en el espacio sería el volumen. Y supongamos que el vértice inferior izquierdo del rectángulo es el origen de coordenadas (el punto 0,0) mientras que el vértice superior derecho es el punto (a, b)
El áreal del rectángulo de lados a y b es la integral de la función 1 (sí, la función constantemente uno, más fácil...). Entonces el área del rectángulo es la integral entre 0 y a con respecto a una de las variables (si a es la base, pues la variable sería el eje por, es decir x) y entre 0 y b de la otra variable (si la primera es x la segunda y). El resultado ya lo sabemos, el área es a*b.
Intento desarrollarlo, llamo [ al símbolo de la integral. Sería
[[1dxdy donde 0<x<a e 0<y<b. Integro con respecto a y, nos queda:
[ydx 0<x<a e 0<y<b, por lo tanto, como y en 0 es cero e y en b es b, nos queda:
[bdx 0<x<a. Integro en x y queda: bx evaluado en x=a y x=0, como también bx en cero es cero y bx en a es ba, nos queda que la integral es ba.