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8.15)
La función de densidad g(x) del estimador es n·f(x)·[P(Y >=x)]^(n-1)
Calculamos primero P(Y>=x) = 1-P(Y<=x) =
$$\begin{align}&P(Y\ge x)=1-\int_{\beta}^x 3\beta^3y^{-4}dy=\\ &\\ &1-3\beta^3\left[\frac{y^{-3}}{-3} \right]_{\beta}^x=1+\beta^3(x^{-3}-\beta^{-3})=\left(\frac{\beta}{x}\right)^3\\ &\\ &g(x)=3n\beta^3x^{-4}\left(\frac{\beta}{x}\right)^{3(n-1)}=\\ &\\ &\frac{3n\beta^{3n}}{x^4x^{3n-1}}= \frac{3n}{x}\left(\frac{\beta}{x}\right)^{3n}\\ &\\ &\\ &E(\widehat{\beta})=\int_{\beta}^{+\infty}x \frac{3n}{x}\left(\frac{\beta}{x}\right)^{3n}dx\\ & \\ &\\ &=3n\beta^{3n}\left[ \frac{x^{-3n+1}}{-3n+1} \right]_{\beta}^{+\infty}=\\ &\\ &3n\beta^{3n}\left(0-\frac{\beta^{-3n+1}}{-3n+1}\right)=\frac{3n\beta}{3n-1}\end{align}$$Bueno, ya ves que no me coincide con la respuesta, pero lo mando porqué así podre ver como queda todo el desarrollo y ver donde me equivoqué. Mientras no se manda la respuesta no se puede ver más que de linea en linea y es incomodísimo. Tendrían que haber hecho una ventana de previsualización más grande o de tamaño variable.
Espera por lo tanto.
Había un fallo simplemente de transcripción aquí, aunque las cuentas estaban bien hechas:
$$\begin{align}&\frac{3n\beta^{3n}}{x^4x^{3n-1}}= \frac{3n}{x}\left(\frac{\beta}{x}\right)^{3n}\\ &\\ &\text{que debía ser}\\ &\\ &\frac{3n\beta^{3n}}{x^4x^{3(n-1)}}= \frac{3n}{x}\left(\frac{\beta}{x}\right)^{3n}\end{align}$$Ah, y la respuesta es distinta porque yo no he terminado, me piden el sesgo y solo había llegado hasta la esperanza del estimador
$$\begin{align}&sesgo=B(\widehat{\beta})= E(\widehat{\beta})-\beta=\\ &\\ &\frac{3n\beta}{3n-1}-\beta= \frac{3n\beta-3n\beta+\beta}{3n-1}=\\ &\\ &\frac{\beta}{3n-1}\end{align}$$Que es exactamente lo que pedían.
Respecto a la parte b te digo lo mismo que en el problema anterior, es complicada y no se explicar rigurosamente porque se hace como lo voy a hacer, pero el caso es que se hace así.
$$\begin{align}&MSE(\widehat{\beta}) = E[(\widehat{\beta}-\beta)^2]\\ &\\ &= \int_{\beta}^{+\infty}\frac{(x^2-2x\beta+\beta^2)3n\beta^{3n}}{x·x^{3n}}dx=\\ &\\ &3n\beta^{3n}\left[ \frac{x^{-3n+2}}{-3n+2} -\frac{2\beta x^{-3n+1}}{-3n+1} + \frac{x^{-3n}}{-3n}\right]=\\ &\\ &3n\beta^{3n}\left( -\frac{\beta^{-3n+2}}{-3n+2} + \frac{2 \beta^{-3n+2}}{-3n+1} - \frac{\beta^{-3n+2}}{-3n}\right)=\\ &\\ &3n \beta^2 \left(\frac{1}{3n-2}-\frac{2}{3n-1}+\frac{1}{3n} \right)=\\ &\\ &\\ &3n\beta^2 \left(\frac{(3n-1)3n-2(3n-2)3n+(3n-2)(3n-1)}{(3n-2)(3n-1)(3n)}\right)=\\ &\\ &\\ &\beta^2 \left(\frac{9n^2-3n-18n^2+12n+9n^2-3n-6n+2}{(3n-2)(3n-1)}\right)=\\ &\\ &\frac{2\beta^2}{(3n-2)(3n-1)}\\ &\end{align}$$Y eso es todo.
