Derivadas

Esta es una pregunta con una respuesta muy extensa. Yo te digo unas cuantas cosas y si necesitas más pues sigues preguntando :). Lo que pasa que en España, en la prueba de Selectividad también hay que saber integrar y si no sabes derivar me extraña que sepas integrar.
Para empezar la derivada tiene una interpretación física y otra geométrica (matemática). La interpretación física es que si tienes la ecuación de posición de un objeto al derivar esta obtienes la velocidad a la que se mueve el objeto. La geométrica es que dada una función su derivada te da la pendiente en cada punto de la función.
Como no se pueden subir archivos te recomiendo que busques 'derivada' en la wikipedia y podrás ver algunos dibujos que te ayudarán a entender las interpretaciones.
Siempre que derivemos lo vamos a hacer en función de una variable, al principio, en las matemáticas simples, sólo tenemos una variable, la 'x' y derivaremos respecto de ella. Para ello tenemos que saber las reglas de derivación, que no son pocas y que también puedes en contrar en la wikipedia, dentro del artículo de derivadas en el punto 8.
Por ejemplo, si tienes la función f(x)=3x su derivada es f'(x)=3 (el símbolo ' indica derivada) por la más sencilla regla de dervicación que es que dado un polinomio de grado n al derivar la n pasa multiplicando y el grado pasa a ser n-1, por ejemplo, con n=2:
a) f(x)=x^2 ----> f'(x)=2x
b) f(x)=3x^3 ----> f'(x)=9x^2
Lo dicho, para aprender más lee algo por internet porque sino puede estar aquí escribiendo hasta mañana y aún me quedarían cosas para contar :).
Para dejar un poquito más claras las interpretaciones pues decirte que en el ejemplo a) tendríamos que dada la función x^2 (que es una parábola) su pendiente en cada punto sería 2x, es decir, en el punto 0 la pendiente es 0, en el punto 1 la pendiente es 2, en el punto 3 la pendiente es 6 (recuerda que la pendiente de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la función que pasa por ese punto). En cuanto al interpretación física pues tendríamos que un objeto que tiene como ecuación del espacio x^2, es decir, un objeto que se mueve describiendo una parábola, pues en cada punto llevará una velocidad de 2x.
Si tienes alguna duda sobre alguna regla de derivación o algo no dudes en preguntar. Puedes consultarlas en la wikipedia o en muchas otras páginas.