Geometría analítica, ejercicio tramposo
Hola experto!
Di un examen hace poco y me apareció este ejercicio que pensé que sería fácil de resolver pero no pude terminarlo. El ejercicio va así:
Determine la ecuación de la elipse si sabe que sus puntos F1=(3,1)y F2(9,1)la longitud del eje mayor es 8.
Lo único que pude hacer fue sacar el valor del eje mayor=8 => (2xa)=> a=4. Pero no supe como calcular el resto de los datos. Ojalá me puedas ayudar.
Muchas gracias!
Di un examen hace poco y me apareció este ejercicio que pensé que sería fácil de resolver pero no pude terminarlo. El ejercicio va así:
Determine la ecuación de la elipse si sabe que sus puntos F1=(3,1)y F2(9,1)la longitud del eje mayor es 8.
Lo único que pude hacer fue sacar el valor del eje mayor=8 => (2xa)=> a=4. Pero no supe como calcular el resto de los datos. Ojalá me puedas ayudar.
Muchas gracias!
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Respuesta de gilillo
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Sabes lo que son F1, ¿y F2?. Si son los focos de la elipse, o son puntos por donde pasa la elipse. Probablemente sean los focos de la elipse, porque si son puntos por donde pasa la elipse entonces no es posible resolver el problema solo con esa información.
Voy a resolver el problema suponiendo que F1 y F2 se refiera a los focos de la elipse:
Tengo esta ecuación de la elipse:
[(x - xo)^2]/a^2 + [(y - yo)^2]/b^2 = 1
Donde:
(Pero, yo) son las coordenadas del centro de la elipse (centro entre los dos focos)
"a" Es la mitad de la longitud del eje mayor, que debe de estar paralelo al eje "x" por las coordenadas de los focos.
"b" Es la mitad de la longitud del eje menor.
Lo primero que necesitamos son las coordenadas del centro:
Que son (6,1) (la mitad entre los focos)
La longitud del eje mayor la dan en el problema: 8
Como "a" es la mitad entonces:
a = 4
Calcularemos la longitud del eje menor. Formemos un triangulo rectángulo: el cateto opuesto sera la mitad superior del eje menor, el cateto adyacente sera la linean entre el centro de la elipse y F1, y por lo tanto la hypotenusa sera la linea entre F1 y el extremo superior del eje menor.
Necesitamos encontrar la longitud del cateto opuesto que es igual a la mitad del eje menor, y por ello será igual a "b".
Llamemos M1 a el extremos superior del eje menor. Por la definición de lo que es un foco de una elipse, sabemos que la suma de las distancias entre cualquier punto de la elipse y sus focos es constante e igual a la longitud del eje mayor. Para nuestro punto en particular (M1), esta la distancia entre M1-F1 es igual a la distancia M1-F2, porque esta a la mitad entre ellos. Y como la suma de estas ditancias es igual a 8, entonces la distancia M1-F1 = 4; y ciertamente es la longitude de la hypotenusa de nuestro triangulo.
Ahora solo aplicaremos teorema de pitágoras y diremos que
4^2 = 3^2 + b^2
b = raiz(16 - 9) = 2.64575
Sustituimos las coordenadas del centro, "a" y "b" en la ecuación inicial y es el resultado:
[(x - 6)^2]/16 + [(y - 1)^2]/7 = 1
Voy a resolver el problema suponiendo que F1 y F2 se refiera a los focos de la elipse:
Tengo esta ecuación de la elipse:
[(x - xo)^2]/a^2 + [(y - yo)^2]/b^2 = 1
Donde:
(Pero, yo) son las coordenadas del centro de la elipse (centro entre los dos focos)
"a" Es la mitad de la longitud del eje mayor, que debe de estar paralelo al eje "x" por las coordenadas de los focos.
"b" Es la mitad de la longitud del eje menor.
Lo primero que necesitamos son las coordenadas del centro:
Que son (6,1) (la mitad entre los focos)
La longitud del eje mayor la dan en el problema: 8
Como "a" es la mitad entonces:
a = 4
Calcularemos la longitud del eje menor. Formemos un triangulo rectángulo: el cateto opuesto sera la mitad superior del eje menor, el cateto adyacente sera la linean entre el centro de la elipse y F1, y por lo tanto la hypotenusa sera la linea entre F1 y el extremo superior del eje menor.
Necesitamos encontrar la longitud del cateto opuesto que es igual a la mitad del eje menor, y por ello será igual a "b".
Llamemos M1 a el extremos superior del eje menor. Por la definición de lo que es un foco de una elipse, sabemos que la suma de las distancias entre cualquier punto de la elipse y sus focos es constante e igual a la longitud del eje mayor. Para nuestro punto en particular (M1), esta la distancia entre M1-F1 es igual a la distancia M1-F2, porque esta a la mitad entre ellos. Y como la suma de estas ditancias es igual a 8, entonces la distancia M1-F1 = 4; y ciertamente es la longitude de la hypotenusa de nuestro triangulo.
Ahora solo aplicaremos teorema de pitágoras y diremos que
4^2 = 3^2 + b^2
b = raiz(16 - 9) = 2.64575
Sustituimos las coordenadas del centro, "a" y "b" en la ecuación inicial y es el resultado:
[(x - 6)^2]/16 + [(y - 1)^2]/7 = 1
