Ayuda Rapido plis derivadas

Son demasiadas preguntas de una vez (me tomaría demasiado tiempo responder todo de una vez), así que te daré las soluciones y el desarrollo general, pero si tienes dudas específicas en alguno (por ejemplo: si no te da lo mismo que a mí) vuelve a preguntar.
1.
Cuando tienes la función que describe tu posición [r(t)], la velocidad es su primera derivada, y la aceleración es la segunda derivada, las cuales también son función del tiempo.
1a)
(Fíjate que en tu post hay un signo de interrogación así que reenvíame tu pregunta para saber cual es el prob.
1b)
Tu función posición:
r(t)=raiz(t^3+3)
Entonces en t=3:
r(3)=raiz(30)=5.48
La velocidad es al primera detivadad de tu función posición con respecto del tiempo:
v(t)=r'(t)=(3t^2)/(2*raiz(t^3+3))
Y la aceleración es la segunda derivada de la función posición (que es lo mismo que la primera derivada de la función velocidad)
a(t)=v'(t)=r''(t)=
(-9t^4)/(4*(t^3+3)^(3/2)) +
+ 3t/raiz(t^3+3)
2.
También es aplicación directa de la regla de la cadena:
derivas ambos lados de la igualdad por x:
dy/dx = derivada con respecto de x de (2x+y)/(3x^2+y^2)
= d((2x+y)/(3x^2+y^2))/dx
=((2x+y)'*(3x^2+y^2)-(2x+y)*(3x^2+y^2)')/((3x^2+y^2)^2)
vamos por partes:
(2x+y)'=d(2x)/dx+dy/dx=2dx/dx+y'=2+y'
(3x^2+y^2)'=d(3x^2)/dx+d(y^2)/dx=6x+2yy'
y ahora falta evaluar (con paciencia). Lo que da es:
2/(3x^2+y^2) - 6(2x+y)x/((3x^2+y^2)^2)
3.La primera derivada es:
sen(3x^2+2x)'=cos(3x^2+2x)*(6x+2)
segunda derivada:
sen(3x^2+2x)''= -sen(3x^2+2x)*(6x+2)^2+6cos(3x^2+2x)
Tercera:
-cos(3x^2+2x)*(6x+2)^3-18sen(3x^2+2x)*(6x+2)
Cuarta:
sen(3x^2+2x)*(6x+2)^^4-36cos(3x^2+2x)*(6x+2)^2-108sen(3x^2+2x)
4.
La pendiente en un punto es su derivada evaluada en el punto.
También aparece un signo de interrogación que no sé de qué se trata. Postea de nuevo la pregunta y te la resuelvo.
Si te quedan dudas vuelve a preguntar.
Mathtruco

José
a) r = t^3 + 2t^2 + t
Aquí primero hay que hallar la derivada en general. Esto es la derivada de r con respecto a t, que es
3t^2 + 4t + 1
Ahora se reemplaza t por 3
3(3)^2+4.3+1=27+12+1=40
b) r = raíz de (t^3 + 3)
Este se resuelve de la mima forma. Eso si, para derivar debes usar la regla de la cadena. Hazlo tu. Si tienes dudas me lo envías y te lo corrijo.
2.- De la expresión implícita y=(2x+y)/(3x^2+y^2)hallar la derivada de y en razón de x, es decir y? o bien dy/dx
La derivada de un conciente P/Q es (dP/dx.Q-dQ/dxP )Q^2
En nuestro caso es
P=2x+y
Q=3x^2+y^2
derivemos
dP/dx=
dQ/dx=6x+2y.dy/dx
Entonces la derivada
dy/dx= [(2+dy/dx). (3x^2+y^2)-(2x+y) (6x+2y.dy/dx)]/(3x^2+y^2)^2
3.- . Encontrar la cuarta derivada de: y = sen ( 3x2 + 2x )
Aquí debes aplicar la regla de la cadena
derivada primera dy/dx=cos ( 3x2 + 2x ) . (6x+2)
Para la derivada segunda debes aplicar la derivada de un producto
derivada segunda
=d/dx[cos ( 3x2 + 2x )]. (6x+2)+ cos ( 3x2 + 2x ) d/dx[(6x+2)]=
=-sen( 3x2 + 2x) (6x+2) (6x+2)+ cos ( 3x2 + 2x ) .6=
=-(6x+2)^2 sen( 3x2 + 2x)+6 cos ( 3x2 + 2x )
Te dejo la segunda y la tercera a ti
4.- Encontrar la pendiente y la ecuación de la recta normal de la recta tangente de la curva:
y = x^3 + 2x^2 + 2
en el punto dado por el valor x = 2
Primero debes ubicar el punto
Xo=2
Yo=(2)^3+2(2)^2+2=8+8+2=18
(Xo;Yo)=(2;18)
Para la pendiente m primero derivamos en general
m=dy/dx=3x^2+4x
que en x=2 vale m=3.2^2+4.2=12+8=20
La ecuación de la recta que pasa por (Xo;Yo)=(2;18) y tiene pendiente 20 es
y-18= 20 (x-2)
La ecuación de la normales la misma salvo que la pendiente m se invierte y se cambia de signo -1/m=-1/20
y-18=(1/20) (x-2)
Cualquier duda me preguntas

el 1 y el 4 la ? no se que es.
El 2.
dy/dx=[2(3x^2+y^2)-6x(2x+y)]/(3x^2+y^2)^2
El 3.
La derivada cuarta es igual a
44sen(3x^2+2x)+24(6x+2)cos(3x^2+2x)-(6x+2)^4sen(3x^2+2x)
¿Dime qué significa el? Y te ayudare en los otros.