Varias dudas sobre operaciones matemáticas con números complejos

sqrt(-1)*sqrt(-1)=i*i <<<<<< aqui esta el error
No debo reemplazar sqrt(-1) por i, como si fuera una identidad.
Sqrt(-1) será en ocasiones igual a i y en otras ocasiones será igual a -i
...
Veamos un ejemplo parecido donde no aparece i en forma explicita :
2=sqrt(4)= sqrt(-2*-2)=sqrt(-2)* sqrt(-2)= [sqrt(-2)]^2=-2
¿Por lo tanto 2=-2 ????
a) Si pensamos sqrt(4) como raíz de la ecuación x^2=4, hay dos soluciones x=2 y x=-2 y no es correcto poner 2=sqrt(4) si luego voy a poner 4=(-2)^2 y simplificar la raíz
b) Si optamos por definir sqrt(4) como la raíz positiva solamente, entonces 2=+sqrt(4) seria por definición correcto pero entonces no esta bien cancelar la raíz con el cuadrado.
Otro ejemplo
5/3 Pi=Arco sen 1/2 =1/3 Pi
5/3=1/3???
Volviendo a nuestro
sqrt(-1)*sqrt(-1)=i*i
Reemplazar sqrt(-1) por i porque -1=i^2
es como afirmar que
-1=(x)^2 => x=i
lo que no es cierto porque la implicación va en el otro sentido.
x=i => -1=(x)^2 sí es correcto
x=-i => -1=(x)^2 también es correcto
...
Lo que yo puedo afirmar con seguridad es que i^2=-1
y que x^2=-1 tiene dos raíces que son x=i y x=-i. Eso no implica i=-i ni que 1=-1
Conclusión
No se debe reemplazar, alegremente, sqrt(-1) por i

El problema es que en el campo complejo sqrt(-1) no tiene valor único.
Específicamente sqrt(-1) pude ser i o puede ser -i
En efecto
i^2=-1
y también
(-i)^2=-1
Entonces
sqrt(-1)*sqrt(-1)
podría ser
i*i
o también
(-i)*(-i)
o también
(-i)*i
o también
i*(-i)
es decir podría dar tanto uno como menos uno
Eso no quiere decir que
1=-1
Sino que
sqrt(-1)*sqrt(-1)
No es una expresión univoca sino que como cualquier raíz compleja tiene varios valores .En este caso dos
(Si fuera una raíz cúbica serian tres, etc)
Conclusión: ojo con las raíces en el campo complejo

Se llaman funciones multiformes

Ok, sabemos que las raíces en los complejos son multivaluadas, pero eso no responde a mi pregunta.
Me estás diciendo entonces que 1=1 v 1=-1,... entonces me dejas en las mismas.
Quiero saber en qué paso se está el error en la secuencia.
Gracias por tu paciencia.

Trngo esta pregunta esta sin cerrar como pendiente