Sumatoria

Respuesta de
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Usuario
Quisiera pedirle que me enseñe alguna forma fácil de utilizar la propiedad telescópica de sumatoria.
¿Cómo se aplica la inducción matemática?
Usuario
Muchas gracias...
Experto
La propiedad telescópica dice que

m
Sumatoria[ ai+1 - ai] = am+1 - an
i=n

Lo cual resulta bastante evidente ya que los términos intermedios se cancelan.

Ahora bien calcular una sumatoria cualquiera es un problema que en general puede ser posible o no de resolver.

Si, con astucia o algún truco, el término general puede escribirse en la forma

ai+1 - ai

Se convierte en telescópica y por lo tanto muy fácilmente calculable.


Por ejemplo,

m
Sumatoria[ 1/i+1 - 1/i] = 1/m+1 -1/n
i=n

Que resulta bastante inmediato. Ahora bien la diferencia [ 1/i+1 - 1/i] puede estar disimulada así:

(1/i+1)-(1/i)=(1/i).(1/i+1)= 1/(i^2+i)

Por lo tanto que si me piden calcular la sumatoria de 1/(i^2+i) lo que tengo que hacer es el camino inverso factorizar el denominador y luego expresarlo como una diferencia:

Sumatoria entre n y m de 1/(i^2+i)= Sumatoria (1/i+1)-(1/i)

Que por la propiedad telescópica es igual a 1/m+1 -1/n
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No hay una regla fija para buscar la forma de convertir en telescópica una suma y solo en algunos casos es posible. Por ejemplo si tengo:

m
Sumatoria[2i+1]
i=1

Pero puedo escribir 2i+1 como la diferencia (i+1)^2-i^2 que es telescópica y resulta

m
Sumatoria[2i+1]=(m+1)^2-1=m^2+2m
i=1

Pero por otra parte

m
Sumatoria[2i+1]=2Sumatoria+Sumatoria[1]=2 Sumatoria+ m
i=1

Con lo que nos queda que

2 Sumatoria+ m= m^2+2m

De donde podemos despejar Sumatoria
m
Sumatoria=(m^2+m)/2
1

Finalmente

m
Sumatoria=m(m+1)/2
1

Que es la conocida suma de los naturales. Esta suma también la podemos demostrar por inducción
Para aplicar inducción la fórmula debe


a)Base inductiva: ser cierta para n=1


b)Paso inductivo: Partiendo de que es cierta para n debemos demostrarla para n+1

a)En nuestro caso es cierta para 1. En efecto es :
1=1(1+1)/2
1=1

b) Si es cierta para m tenemos que

1+2+3+....+n = n (n+1)/2

Si sumamos n+1 en ambos miembros es

(1+2+3+......+n)+n+1 = n (n+1)/2 +(n+1)
(1+2+3+......+n)+n+1 =(n/2 + 1)(n+1)
(1+2+3+......+n)+n+1 = (n+2)/2 (n+1)
(1+2+3+......+n)+n+1 = (n+2) (n+1)/2

Que es la fórmula aplicada a n+1 en lugar de n.
Por lo tanto queda demostrada por inducción.

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Otro ejemplo :

Probar por inducción que (4^n)-1 es múltiplo de tres para todo n natural
a) Base inductiva: (4^1)-1=4-1=3 que es divisible por tres
b) Paso inductivo: Suponiendo que

4^n-1

Es múltiplo de tres, si sumamos 3.(4^n) el resultado
3(4^n)+(4^n) -1

también será múltiplo de tres.Pero
3(4^n)+(4^n) -1 = 4.(4^n)-1= 4^(n+1) -1

Que es la afirmación aplicada a n+1 con lo que queda demostrada la inducción.
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Otro ejemplo no tan fácil es :

Probar usando la propiedad telescópica que
m
Sumatoria[i^2]=1/6 (2m^3+3m^2+1)
1

Si desarrollamos el cubo

(i+1)^3= i^3+3i^2+3i+1

Entonces

(i+1)^3- i^3=3i^2+3i+1 [1]

Si sumamos entre uno y m en el 1er miembro tenemos una suma telescópica
(Además las otras sumas que nos quedan ya las conocemos excepto la de i^2 que es la que queremos calcular)

Sumatoria[(i+1)^3- i^3]= 3 Sumatoria[i^2]+3 Sumatoria+Sumatoria[1]

La unica sumatoria que no conocemos es la de i^2 ya que

Sumatoria[(i+1)^3- i^3]=(m+1)^3-1^3
por suma telescopica y operando es
Sumatoria[(i+1)^3- i^3]=m^3+3m^2+3m

3 Sumatoria= 3 m(m+1)/2

Sumatoria[1]=1+1+...+1=m

Por lo tanto reemplazando en [1] es

m^3+3m^2+3m =3 Sumatoria[i^2]+3 m(m+1)/2 + m

m^3+3m^2+2m = 3 Sumatoria[i^2]+3/2 m^2+ 3/2m


m^3+3/2 m^2+1/2m = 3 Sumatoria[i^2]

y nos queda entonces que

Sumatoria[i^2]=1/6 (2m^3+3m^2+1)
Con esta técnica podes sacar la suma de cualquier potencia de i sabiendo las suma de las potencias anteriores
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Saludos
eudemo