Obtener la ecuación ordinaria, y la gráfica de la elipse con focos en F(4, 2) y F’(4, -6) y un vértice en V’(4, -7).

Verónica primero podemos ver que el eje focal es paralelo al eje Y ya que se aprecia por la coordenada por en los puntos es igual así la ecuación es

$$\begin{align}&\frac{(x-4)^2}{9}+\frac{(y+2)^2}{25}=1\end{align}$$

Donde las coordenadas del centro se encuentran por simetría sobre la elipse las coordenadas de centro (4,-2) en si  ellas representan el punto medio del segmento que une los vértices pero también es el  punto medio de los focos cuyos valores si los tenemos calculando los puntos medios llegamos a obtener las coordenadas buscadas del centro  ,al igual que otro vértice  que falta, para este observamos que la abscisa se mantiene constante la que varia es la ordenada como la elipse es simétrica vemos que al foco serca de este vértice le sumamos la distancia de 1 y listo lo obtenemos que es  (4,3) la longitud del semieje mayor es; 2a=10 de donde a=5, la longitud la semi distancia focal es; 2c=8 de donde c=4 , semieje menor 

$$\begin{align}&b^2=25-16\end{align}$$

De donde b=3 así la excentricidad es 

$$\begin{align}&e=\frac{c}{a}\end{align}$$

$$\begin{align}&e=\frac{4}{5}<1\end{align}$$

La longitud del lado recto 

$$\begin{align}&L=\frac{2b^2}{a}\\&L=\frac{2(3)^2}{5}=\frac{2•9}{5}=3\frac{3}{5}\end{align}$$

Para la gráfica sugerencia gráfica los puntos como focos centro y los vértices en un sistema bidimensional de coordenadas rectangulares luego traza un ovalo que pase por los dos vértices su eje mayor debe ser paralelo al eje y si no con esa formula utilizas cualquier calculadora o programa la colocas y ella te realiza la gráfica saludos

¿Hola gracias por contestar pero me podría dar los pasos con numero de cómo saco la ecuación? En pocas palabras el procedimiento por favor

verónica los pasos son;

1-identificar la formula; 

$$\begin{align}&\frac{(x-h)^2}{b^2}+\frac{(x-h)^2}{a^2}\end{align}$$

2-Encontrar los valores de las constantes involucradas como lo son valor de a,b,h y k

Como tenemos los valores de los focos les damos uso ya que h y k son los las coordenadas del centro del segmento que une los vértices y también el punto medio del segmento que une los focos así

$$\begin{align}&(\frac{4+4}{{2},\frac{-6+2}{2})=(4,-2)=(h,k)\end{align}$$

Para determinar los valores de a y b, necesitamos las coordenadas del vértice que falta el cual como se observa en los datos la primera coordenada  es  el valor 4 mientras que el la otra por simetría vemos que la distancia en valor absoluto del otro foco al otro vértice conocido es 1, así como tenemos las coordenadas de foco cerca del vértice que buscamos se cumple que (4,2+1)=(4,3) coordenadas del vértice que necesitamos ahora ya lo conocemos, como a es la distancia del semieje mayor podemos calcular la distancia entre v(4,3) y v'(4,-7) que es 10, entonces se debe cumplir que 2a=10 de donde a =5

Para encontrar el valor de la semi distancia focal necesitamos la distancia entre f(4,2) y f'(4,-6) vemos que es 8 así se debe cumplir que 2c=8 de donde c=4

Ahora sustituye en la formula y listo