Calcular el error polinomio de taylor

No sé como llegaste a ese resultado, pero supongo que estará bien.

Igualmente te dejo el desarrollo nuevamente, como para que lo compares.

f(x)=sen(x)

f'(x)=cos(x)

f''(x)=-sen(x)

f'''(x) = -cos(x)

$$\begin{align}&P_2(x) = sen(\frac{\pi}4) + \cos(\frac{\pi}4)(x-\frac{\pi}4)-sen(\frac{\pi}4) \cdot \frac{(x-\frac{\pi}4)^2}2+R_n\\&P_2(x) = \frac{\sqrt{2}}2 + \frac{\sqrt{2}}2(x-\frac{\pi}4)-\frac{\sqrt{2}}2 \cdot \frac{(x-\frac{\pi}4)^2}2+R_n\\&\text{Supongo que lo anterior es lo mismo que calculaste vos (\sin la expresión }R_n\\&R_n \text{ tiene que ver con el error y se define como}\\&R_n=\cos(\psi) \frac{(x-\frac{\pi}4)^3}6.....donde\  \psi \text{ es un número entre x y }\frac{\pi}4\\&Acotemos\ R_n...\\&|R_n| = \bigg|\cos(\psi) \frac{(x-\frac{\pi}4)^3}6\bigg| \le \bigg| \frac{(x-\frac{\pi}4)^3}6\bigg|\\&(x=\frac{\pi}5)\\&\bigg|\frac{(\frac{\pi}5-\frac{\pi}4)^3}6\bigg| = \bigg|\frac{(\frac{-\pi}{20})^3}6\bigg| = \frac{\pi^3}{48000}\\&\text{Hasta ahí con números más o menos precisos, como estamos acotando, ahora podemos seguir}\\&\text{"un poco más", para simplificar la expresión}\\&\text{Sabemos que }\pi \text{al cubo es un poco mayor que 31, así que podemos acotar}\\&\frac{\pi^3}{48000}\le \frac{36}{48000} = \frac{3}{4000}=7.5 \cdot 10^{-4} \le 10^{-3}\\&\\&\end{align}$$

Salu2