¿Las empresas pueden saber mi situación laboral en la que me encuentro?

Tengo una duda sobre mi situación, resulta que tengo apalabrado un contrato de trabajo con una empresa x para el 01/07, les he mandado fotocopia del dni y la seguridad social, pero a día de hoy he tenido que coger otro empleo por obra y servicio en otra empresa Y.

Ya faltan un mes y algo para el trabajo en la otra empresa x, mi duda es que esta empresa x, me pidieron fotocopias de muchas cosas y aparte fotocopia de la tarjeta del inem, y mi duda es si ellos se pueden dar cuenta que actualmente estoy trabajando y ya no les interese. Con la empresa Y lo he cogido mientras no estaba trabajando con la empresa x para coger algo de dinero con intención de dejarlo en junio y empezar con esta empresa ya en julio. Pero pienso que quizás esta empresa busca personas desempleadas que le dan una subvención al estar en el paro.

No se si al estar dada de alta me valla a perjudicar a mi . Y otras de las cosas es que el trabajo en la empresa Y no me gusta, pero me interesa su experiencia. La empresa x me dijeron que me llamarían en junio para firmar el contrato, y ahora no se como actuar, ¿por qué ellos verían mi situación actual que tengo ahora mismo? Y no se si al ver que estoy trabajando directamente no me van a llamar, y no se si irme antes de lo esperado con la empresa Y, ¿me podéis resolver esta duda y guiarme un poco como tengo que actuar en estas situaciones?