¿Me explican este problema de inducción completa?

No te voy a dar todo el detalle paso a paso, porque eso lo tenés explicado acá

$$\begin{align}&\sum_{i=1}^{n}2i=^? 2^{n+1}-2\\&Caso\ base\ (n=1)\\&\sum_{i=1}^{1}2i=2\cdot 1 = 2\\&2^{1+1}-2=2^2-2=2 \\&\text{Se verifica el caso base}\\&P(n) \Rightarrow^? P(n+1)\\&\bigg(\sum_{i=1}^{n}2i= 2^{n+1}-2\bigg) \Rightarrow^? \bigg(\sum_{i=1}^{n+1}2i= 2^{n+2}-2\bigg)\\&\sum_{i=1}^{n+1}2i=\sum_{i=1}^{n}2i + 2(n+1)= (H.I.)\\&=2^{n+1}-2+2(n+1)=2^{n+1}-2+2n+2=\\&2^{n+1}+2n \text{ Por acá parece que no llegamos a nada, de hecho creo que tenés un error en el planteo, el mismo es:}\\&\sum_{i=1}^{n}2^i=^? 2^{n+1}-2\\&\text{Dejé todo lo que hice antes, simplemente para que lo tengas y para que veas que no siempre los razonamientos}\\&\text{son directos, muchas veces pasa probás con una solución y cuando ves que no llegás a nada, entonces tenés que buscar}\\&\text{otros caminos...}\\&\text{Sigamos ahora...Caso base (n=1)}\\&\sum_{i=1}^{1}2^i=2^1=2\\& 2^{1+1}-2=2^2-2=2\\&\text{Vale el caso base}\\&P(n) \Rightarrow^? P(n+1)\\&\bigg(\sum_{i=1}^{n}2^i= 2^{n+1}-2\bigg) \Rightarrow^? \bigg(\sum_{i=1}^{n+1}2^i= 2^{n+2}-2\bigg)\\&\sum_{i=1}^{n+1}2^i = \sum_{i=1}^{n}2^i + 2^{n+1} = (H.I.)\\&=2^{n+1}-2 + 2^{n+1} = 2\cdot 2^{n+1}-2 = 2^{n+2}-2 \text{ Que es lo que queríamos demostrar}\\&\end{align}$$

Salu2