¿ De ett a empresa con reducción por cuidado de un menor?

En octubre hago 4 años trabajando por ett con contrato por obra y servicio, con reducción de jornada por cuidado de un menor. Me dicen en la empresa usuaria que en enero seguramente me hagan de empresa pero con media jornada. Entonces queria saber si esto es así, o entro directamente en la empresa y ellos se tienen que llevar mi antigüedad y la reducción, o me tendrían que finiquitar de la ett, dejarme un mes sin trabajar para poder empezar de 0 en la empresa, ¿esto es así?