Método Numérico de Newton-Raphson para hallar la raíz de una función: ¿Desarrollo apropiado?

Pues cual es la pregunta, pues es justamente eso que comentas y lo que hace el método es encontrar una raíz, mediante un método iterativo (ten en cuenta que este método no siempre encuentra una solución).

Tienes la expresión recuadrada al final, aunque a mí me gusta más la expresión

$$\begin{align}&x_{i+1} = x_i - \frac{f(x_i)}{f'(x_i)}\end{align}$$

Que obviamente es equivalente. Lo que te dice esta expresión es que si quieres hallar la raíz de una función hagas los pasos iterativos hasta que 2 valores sucesivos de x_i estén lo 'suficientemente cerca' para decir que encontraste la solución (acá cada persona debe definir que es 'suficientemente cerca').

Esta técnica es una de las tantas técnicas derivadas de los métodos iterativos de punto fijo.

A lo mejor se entienda mejor con un ejemplo: Supongamos que tenemos la expresión

$$\begin{align}&f(x) = e^x - sen(x)\\&\text{y queremos saber cuando f(x) =0}\\&\text{Lo que nos dice este método es que encontremos f'(x)}\\&f'(x) = e^x-\cos(x)\\&\text{ y luego planteemos}\\&x_{i+1} = x_i - \frac{f(x)}{f'(x)} \text{ (o sea)}\\&x_{i+1} =x_i - \frac{e^x - sen(x)}{e^x - sen(x)}\end{align}$$

Como ves, hay que definir un valor inicial (el valor x_1) y a partir de ahí comenzar a iterar a ver que pasa...esos pasos los voy a hacer con un Excel, porque no se cuanto me va a llevar

Fijate varias cosas:

1. En casa paso, defino el nuevo x_i, como el x_(i+1) anterior

2. Paré cuando el resultado coincidía (en mi caso con 8 decimales)

3. Este método es muy veloz, pero hay casos donde falla (ejemplo si la derivada se hace = 0, ya que estamos dividiendo por ese valor). Fijate que en este caso, pese a que el método fue muy veloz y en 5 iteraciones llegamos a un valor 'razonable', si hubiese elegido x_1 = 0, hubiese fallado ya que f'(0) = 0

Espero que te sirva para aclarar un poco las dudas, como un comentario adicional te comento que ya vimos que este método es muy bueno (rápido), pero que puede fallar, por lo tanto en la práctica lo que suele usarse es primero aproximar una solución por otro método (ej: bisección si tenés un intervalo donde sepas que la función cambia de signo), y cuando estás 'cerca' de la solución, entonces cambiás de método y lo resolves con este

Salu2

Mil gracias por tu respuesta Gustavo, excelentemente explicada la aplicación del método a la resolución de problemas, y con un muy buen ejemplo además! Tal vez fui muy breve en la introducción de mi duda, lo cual posiblemente no permitió que se comprendiera del todo.

En realidad, lo que no alcanzo a comprender es un reemplazo que se realiza en el desarrollo teórico del método. Justamente, en la primer línea:

$$\begin{align}&f(x)-f(x_{i+1})={f(x_i)-f(x_{i+1})\over(x_i-x_{i+1})}.(x-x_{i+1})\end{align}$$

la pendiente m es:

$$\begin{align}&m={f(x_i)-f(x_{i+1})\over(x_i-x_{i+1})}\end{align}$$

La cual es directamente reemplazada por la derivada

$$\begin{align}&f´(Xi)\end{align}$$

Quedando luego:

$$\begin{align}&f(x)-f(x_{i+1})={f´(x_i)}.(x-x_{i+1})\end{align}$$

Sin embargo, en la primer línea no se posee una representación de la pendiente donde haya un cociente que tienda a cero (es decir, algún límite), por lo cual no me parece razonable reemplazar directamente por la derivada, dado que eso no es lo que representa la pendiente. En definitiva, por lo que entiendo:

$$\begin{align}&{f(x_i)-f(x_{i+1})\over(x_i-x_{i+1})}\neq f´(x_i)\end{align}$$

Por ende, no comprendo el reemplazo que se realiza. Tal vez en realidad no sea posible realizar el desarrollo teórico a partir de la ecuación del punto pendiente. En libros encuentro el desarrollo a partir de la serie de Taylor y de la interpretación gráfica de la derivada; pero nunca partiendo de la ecuación tal como mostré en la imagen de la introducción inicial.

Si se te ocurre alguna idea al respecto, te agradecería mucho que la compartas.

Saludos!

Es que justamente de la expresión que tienes

$$\begin{align}&\frac{f(x_i)-f(x_{i+1})}{x_i-x_{i+1}}=\frac{f(x_{i+1})-f(x_{i})}{x_{i+1}-x_{i}}\\&\text{Pero si hacemos }x_{i+1} = x_i+h, \ tenemos\\&\frac{f(x_{i+1})-f(x_{i})}{x_{i+1}-x_{i}}=\frac{f(x_{i}+h)-f(x_{i})}{(x_{i}+h)-x_{i}} = \frac{f(x_{i}+h)-f(x_{i})}{h}\\&\text{Y esa última expresión es justamente la definición de la derivada si hacemos que h se acerque a 0, dicho de otro modo}\\&\lim_{h \to 0} \frac{f(x_{i}+h)-f(x_{i})}{h}=f'(x_i)\end{align}$$

Salu2