Anónimo
Necesito respuesta de teoría sobre formas cuadráticas
Distinga teóricamente entre una forma cuadrática semidefinida positiva y una definida positiva.
Estudiar si la siguiente aplicación es o no lineal:
f(x,y,z)=(x+y^2,x+y+z)
1 Respuesta
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¡Hola Yolanda!
La forma cuadrática será definida positiva cuando aplicada a cualquier vector distinto del vector nulo el resultado sea estrictamente mayor de 0.
F(X, X) >0 para todo X distinto del vector nulo
Y es semidefinida positiva si cumple
F(X, X) >= 0 para todo X distinto del vector nulo
Por ejemplo
F((x, y),(x, y)) =x^2+y^2 es definida positiva, solo vale 0 para (0,0) y para cualquier otro valor es positiva
F((x, y),(x, y)) =x^2 es semidefinida positiva, ya que siempre es no negativa, pero vale 0 para valores que no son (0,0), para todo (0, y) vale 0
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No es lineal, el hecho de aparecer el y^2 ya nos dice que no es lineal, pero si tienes que demostrarlo toma el vector (1,1,1)
f[2(1,1,1)] = f(2,2,2) = (2+2^2, 2+2+2) = (6,6)
mientras que
2·f(1,1,1) = 2(1+1^2, 1+1+1) = 2(2, 3) = (4, 6)
luego no cumple la propiedad de las funciones lineales:
f(kX) = k·f(X)
Y eso es todo, saludos.
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