Anónimo
Dudas sobre grupos abelianos finitos en álgebra abstracta!
Espero contar con su apoyo en este ejercicio... Muchas gracias!
Sean G x H grupos abelianos finitos. Si G x G ≅ H x H ¿G ≅ H?
1 respuesta
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¡Hola Anónimo!
Hay que emplear el teorema fundamental de grupos abelianos finitamente generados.
Eso sale en el libro de álgebra abstracta de Fraleigh que es el libro de referencia de muchos que preguntáis por aquí. Como G y H son finitos sobrarán todos los Z que hay al final. Haciéndolo por coeficientes de torsión será.
$$\begin{align}&G\sim\mathbb Z_{m_1}\times \mathbb Z_{m_2}\times ···\times \mathbb Z_{m_i}\\&H\sim\mathbb Z_{n_1}\times \mathbb Z_{n_2}\times ···\times \mathbb Z_{n_j}\\&\\&\text{donde }m_k\bigg|m_{k+1}\quad y \quad m_k\bigg|m_{k+1}\\&\\&\text{Y los grupos producto cartesiano serán}\\&\\&G\times G\sim Z_{m_1}\times \mathbb Z_{m_1}\times Z_{m_2}\times \mathbb Z_{m_2}\times···\times \mathbb Z_{m_i}\times \mathbb Z_{m_i}\\&\\&H\times H\sim Z_{n_1}\times \mathbb Z_{n_1}\times Z_{n_2}\times \mathbb Z_{n_2}\times···\times \mathbb Z_{n_j}\times \mathbb Z_{n_j}\\&\\&\text{Tal como están tenemos los números de torsión en orden}\\&\\&m_1,m_1,m_2,m_2, ..., m_i,m_i\\&n_1,n_1,n_2,n_2,···,n_j,n_j\\&\\&\text{ya que cada uno divide al siguiente y un grupo tiene}\\&\text{unos número de torsión únicos}\\&\\&\text{Como }G\times G\sim H\times H \text{ deben tener los mismos números de torsión}\\&\\&m_1=n_1\\&m_2=n_2\\&...\\&m_i=n_i\\&\\&\text{Con lo cual}\\&\\&G\sim \mathbb Z_{m_1}\times \mathbb Z_{m_2}\times ···\times \mathbb Z_{m_i}\sim H\\&\\&G\sim H\end{align}$$Y eso es todo, saludos.
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Todo grupo abeliano de este tipo G es isomorfo al producto cartesiano de grupos Z_(m_i) donde m_i divide a m_(i+1) y el grupo Z^r. Estos m_i se llaman coeficientes de torsión de G y son únicos. Al ser finitos no saldrá Z^r. Si G=Z_(m_1) x Z_(m_2) x ...Z_(m_i) y H = Z_(n_1) x Z(n_2) x ... x Z_{n_j) tendremos GxG= Z_(m_1) x Z_(m_1) x Z_(m_2) x Z_(m_2) x ...x Z_(m_i) x Z_(m_i) y tendremos HxH = Z_(n_1) x Z_(n_1) x Z_(n_2) x Z_(n_2) x ...x Z_(n_j) x Z_(n_j). Asi, los coeficientes de torsión de GxG son los originales repetidos m_1,m_1, m_2, m_2, ..., m_i,m_i ya que se sigue cumpliendo que cada coeficiente divide al posterior, y los de HxH son n1,n_1, n_2,n_2, ..., n_j, n_j. Al ser isomorfos GxG y HxH tienen los mismos coeficientes de torsión, luego m_1=n_1, m_2=n_2, ..., m_i=n_j, luego G y H son isomorfos al producto directo de los mismos grupos y por lo tanto son isomorfos.