Como resolver ejercicio sobre diagonalización de matrices

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¡Hola Yolanda!

EL polinomio característico es:

| 4-t    2  |

|  1    3-t |  = 0

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(4-t)(3-t) - 2 = 0

12 - 4t - 3t + t^2 - 2 = 0

t^2 - 7t + 10 = 0

eso se factoriza de cabeza, si no resuelve la ecuación

(t-5)(t-2) = 0 

Los valores propios son t=2 y t=5

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Para calcular los vectores propios resolvemos el sistema de ecuaciones que surge al cambiar t por el valor propio correspondiente.

Para t=2

(4-2)x  +  2y = 0  

  1x   +  (3-2)y = 0

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2x + 2y = 0

x + y = 0

Las dos son equivalentes 

Si tomamos x=1 debemos hacer y=-1, luego tomamos como vector propio

u=(1, -1)

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Para t=5

(4-5)x   +  2y = 0  

  1x   +  (3-5)y = 0

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-x + 2y = 0

x - 2y = 0

son equivalentes, ahora damos valor 1 a y

-x + 2= 0

x=2

Luego el vector propio es

v=(2,1)

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La matriz es diagonalizable porque el número de vectores propios de cada valor coincide con su multiplicidad. En este caso es muy sencillo, cuando los valores propios no se repiten ninguno es diagonalizable.

Y la matriz diagonalizada equivalente es la que tiene los valores propios en la diagonal

(2 0)

(0 5)

-------------------------

Y algo que no te han pedido pero se pide casi siempre es la matriz de paso, que es la que tiene los vectores propios puestos por columna

( 1, 2)

(-1, 1)

Y eso es todo, saludos.

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