¡Como puedo resolver esta integral por partes?

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¡Hola Jaime!

Pues exactamente como te dicen, hay que aplicar tres veces la integración por partes poniendo como u el polinomio y como dv la trigonómetrica, de forma que a la tercera el polinomio se reducirá a una constante y se podrá terminar la integración, hay que tener cuidado de no dejarse nada y con los signos. Para estos casos yo prefiero no sacar las constantes fuera de la integral

$$\begin{align}&\int x^3 \cos x\;dx=\\&\\&u=x^3\qquad\qquad\quad du= 3x^2\;dx\\&dv = \cos x \;dx\qquad v=senx\\&\\&= x^3sen\,x-\int 3x^2 senx\;dx=\\&\\&u=3x^2\qquad\qquad\quad du=6x \;dx\\&dv=sen\,x\,dx\qquad\;\; v=-\cos x\\&\\&=x^3senx+3x^2cosx-\int6x \cos x\;dx=\\&\\&u=6x\qquad\qquad\quad du =6\;dx\\&dv=\cos x\; dx\qquad v=sen\,x\\&\\&x^3senx + 3x^2cosx-6x\,sen\,x+\int6sen\,x\;dx=\\&\\&x^3senx + 3x^2cosx-6x\,sen\,x-6 \cos x+C\\&\\&\text{O si prefieres lo simplificas así}\\&\\&(x^3-6x)sen\,x+ (3x^2-6)\cos x+C\end{align}$$

Y eso es todo, saludos.

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