¿ Cómo podría resolver este ejercicio sobre los puntos de corte con los ejes de coordenadas?

Supongo que la expresión es:

$$\begin{align}&f(x) = \frac{5}{x^2-6x+10}\\&Si\ x=0\\&f(0) =\frac{5}{0^2-6\cdot 0+10}=\frac{1}{2}=0.5\\&Si\ f(x)=0\\&0 = \frac{5}{x^2-6x+10} \to \nexists x\\&\text{Queda ver que pasa cuando el denominador es cero, o sea:}\\&x^2-6x+10=0\\&x_{1,2}=\frac{-(-6)\pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 1 \cdot 10}}{2\cdot 1}=\\&\frac{6\pm \sqrt{-4}}{2}\to \text{No hay solución Real}\end{align}$$

Por lo tanto, esta función "solo" corta al eje y en =0.5; y nunca corta al eje x.

Queda ver, que no lo hice, si la función es siempre positiva o siempre negativa, pero ya vimos que cuando x=0, y=0.5 que es positivo, así que siempre será positiva.

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¡Hola Antonia!

Todo numerador o denomindor compuesto debe ir entre paréntesis, porque si no no se sabe cuando empieza o cuando termina y las normas son muy claras al respecto y en esos casos se toma lo mínimo posible. Es decir, lo que has escrito tú se interpreta como.

$$\begin{align}&f(x) = \frac 5{x^2}-6x+10\\&\\&\text{Cuando estoy seguro que querías decir}\\&\\&f(x)= \frac{5}{x^2-6x+10}\\&\\&\text{Con el eje X no tiene cortes }f(x)\neq0\;\forall x\in \mathbb R\\&\\&\text{Con el eje Y hay que hacer }x=0\\&\\&f(0)=\frac{5}{0^2-6·0+10}=\frac{5}{10}=\frac 12\\&\\&\text{luego el único corte con los ejes es }\left(0,\;\frac 12   \right)\end{align}$$

Recuerda, para calcular los cortes con el eje X debes igualar a 0 el numerador, si el numerador no es nunca 0 nunca será 0 la función.

Si el numerador es cero para un valor y el denominador es cero para ese valor tampoco habrá corte ya que la función estará indefinida. Y si el numerador es 0 y el denominador distinto de 0 es cuando hay corte con el eje X.

Y eso es todo, saludos.

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