¿Cómo resulvo este problema de programación lineal?

Lirio, antes de responder tu pregunta, te hago un par de consultas para que me aclares e intentemos resolver el ejercicio juntos:

1. Te piden el método óptimo, ¿o te "alcanza" con una aproximación?

2. Sabés que aunque se trate de programación lineal (PL), ¿en realidad estos problemas son más específicos y se modelan como "modelo de transporte" o "algoritmos de transporte"?

3. ¿Qué métodos conoces?

Inicialmente para ayudarte en tus respuestas, te diré que hay 3 métodos (por lo menos) de aproximación y al menos un método de solución óptima, los métodos son:

- Esquina Noroeste: aproximación

- Costo mínimo: aproximación

- Aproximación de Vogel: aproximación

- Método de multiplicadores: solución óptima

Además de resolver el problema directamente como PL directamente con Simplex o, si se puede, por método gráfico.

Hasta que me respondas tus preguntas, te voy a resolver el algoritmo por el método de esquina noroeste, ya que es muy fácil de implementar (recuerda que no es óptimo).

El planteo inicial, es independiente del método utilizado y te lo dejo a continuación:

Lo primero que hay que hacer es asegurar que las sumas de las ofertas estén balanceadas con las sumas de las demandas (en este caso ambas dan 250 y están balanceadas)

Para esquina noroeste, comenzás por la esquina superior derecha y colocás el mínimo entre la oferta y la demanda (en este caso 100 de oferta), esto descartará toda una fila o columna (en este caso fila) y volvés a plantear el algoritmo con lo que queda (ajustando la oferta y la demanda, afectadas por el punto anterior). Te dejo el paso a paso de este método porque es elemental que lo entiendas para después poder profundizar con otros métodos.

Quedaría calcular el costo de esta función (que no tiene por qué ser mínimo, pues ya dijimos que este método no es óptimo)

z = 100*29400 + 25 * 29400 + 100*37800 + 25 * 50400 = 8715000

Igualmente, viendo los costos individuales entre cada par de nodos, creo que no hay nada que se pueda optimizar, porque a cada destino cuesta lo mismo no importa cual sea la fuente

Buenos Días

Me solicitan los modelos matemáticos de forma Canónica y de forma Estándar.

Quedo atenta

Para eso, entonces podemos plantear el problema como sigue:

Fijate que si defino como X el valor entre Bogotá1 y Barranca, entonces el valor de Bogota2-Barranca queda definido pues se tiene que cumplir que la suma de ambas sea 125, de la misma forma en la segunda columna definiendo Y queda establecido el de Bogota2-Cartagena y la tercer columna queda definida porque se tienen que cumplir las relaciones de la oferta.

Esto nos define el funcional "z", que queremos minimizar

z = 29400X + 29400*(125-X) + 37800Y + 37800*(100-Y) + 50400 (100-(X+Y)) + 50400*(X+Y-75) 

(Habría que operar para simplificar esa expresión, pero eso te lo dejo de tarea :))

Y las restricciones es que cada una de las celdas sean mayores o iguales a cero, o sea

X >=0

125 - X >= 0

Y >= 0

100-Y >= 0

100 - (X+Y) >= 0

X+Y - 75 >= 0

y esta es la fórma canónica, aunque se puede escribir como

0 <= X <= 125

0 <= Y <= 100

75 <= X+Y <= 100

Que escrito en forma estándar sería:

X + s_1 = 125

Y + s_2 = 100

X + Y + s_3 = 100

X + Y - e_1 + A_1 = 75

X >=0, Y >=0

Donde

S_i: son variables de holgura (slag)

E_1: variable de exceso

A_1: variable artificial

Fijate que el problema quedó de dos variables (X, Y), por lo tanto podrías resolverlo gráficamente.

Lirio, si a tí te parece que desarrollar un resultado es lo mismo que pegar un link de internet (ya que ambas respuestas están calificadas igual), entonces lo siento pero a partir de ahora quedate con las respuestas de Herrera y yo me concentraré en ayudar a quienes valoren el esfuerzo.

Buenos Días

Señor Gustavo la verdad hasta la semana pasada me inscribí ha esta página, y creía que funcionaba calificando excelente a las respuestas que me dieran frente al cuestinamiento, teniendo en cuenta su comentario lo tendré en cuenta para otras oportunidades. Le pido disculpas por mi equivocación.