Imagen de una matriz e independencia lineal

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¡Hola Gabriel!

La matriz encierra las imágenes de la base del conjunto origen. La columna primera es la imagen del primer elemento de la base, la columna segunda la del segundo elemento de la base y la columna tercera es la imagen del tercer elemento de la base.

Luego todo elemento del conjunto origen se obtiene como combinación lineal de elementos de su base. Y por ser una aplicación lineal todos los elementos de la imagen se obtienen como combinación lineal de la imágenes de la base.

Así tienes que las columnas de la matriz son un conjunto generador de la imagen. Tienes que ver si aparte de generador es base y en caso de que no lo sea eliminar los elementos que haga falta para que los que queden sean linealmente independientes.

Entonces puedes hacer dos cosas, poner las columnas como filas y hacer operaciones de filas, o dejar la matriz como está y hacer operaciones de columnas. La verdad es que a lo que estamos acostumbrados es a hacer operaciones de filas, luego pondré las columnas como filas

 1  2  -3

-1 -2   3

 2  4   6

Y ya vemos que la segunda fila es la primera cambiada de signo. Sumando primera a segunda y restando dos veces primera a tercera tenemos

1   2  - 3

0   0    0

0   0  12

Podemos tomar un vector paralelo luego en lugar de 12 ponemos 1

1   2  - 3

0   0    0

0   0    1

Y ahora atacamos desde abajo hacia arriba, la ultima fila multiplicada por 3 la restamos a la primera

1  2  0

0  0  0

0  0  1

Luego ya tenemos una base ortogonal

B={(1,2,0), (0,0,1)}

Lo único que te falta es normalizar el primer vector

$$\begin{align}&B=\left\{\left(\frac{1}{\sqrt 5},\frac{2}{\sqrt 5},0  \right),\;(0,0,1)  \right\}\end{align}$$

Y ya esta, espero que lo hayas entendido, si no pregúntame.  Y si ya está bien no dejes de valorar la respuesta.

Saludos.

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