¿Qué elemento(s) tiene el conjunto 1?
Sea x={1}. Por el axioma de regularidad (o fundación), existe z tal que z pertenece a x, y z intersección x es el conjunto vacío.
Ahora bien, como z pertenece a x={1}, claramente z=1. Yal ser z un conjunto, se deduce que "1" es un conjunto ¿Qué elemento(s) tiene el conjunto 1?
1 Respuesta
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¡Hola Abealardo!
Como x es no vacío entonces tiene un elemento z que es un conjunto y tal que la interesección de z con x es el vacío
Por ejemplo
x= {1,z}
z={2}
El z no es uno de los elementos que tiene x, es un elemento que se añade para evitar contradicciones que tenía la primigenia teoría de conjuntos que se daban con conjuntos que se contenían a sí mismos. A este z se le llama elemento minimal Es curioso que se dieron cuenta de este fallo cuando ya habían imprimido los libros de la teoría justo antes de sistribuirlos.
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Hola Valero Ángel!
Muchísimas gracias por prestarle atención a mi pregunta.
Te lo agradezco mucho. Pero no puedo coincidir, o bien no entiendo la respuesta.
Porque siendo x={1}, no es posible que, para z distinto de 1, sea x={1, z}. Y esto es obvio, pues (al ser z distinto de 1) los conjuntos {1} y {1,z} son distintos ya que no tienen los mismos elementos (demás está decir que si escribimos x={1, z} estamos indicando que z es un elemento de x).
Por lo que leí sobre la teoría de conjuntos de ZF, lo que se debería entender según esta teoría es que el número 1 es un conjunto. Y lo que yo no concibo es que los matemáticos acepten que "1" es un conjunto y que no digan qué elemento/s tiene dicho conjunto.
Yo no he dicho ninguna cosa distinta de lo que dice el axioma. Un axioma no es una cosa que se pueda discutir, es algo que se conviene en aceptar sin más.
Usaré la letra n para denotar la intersección y el euro para pertenece
Y si el axioma dice que para todo conjunto x no vacío existe z tal que z € x, y z n x = vacío, entonces es
x={1,z} con z n x = vacío
Si fuera z={1} entonces
z n x = {1}
Que es distinto del vacío y no se cumpliría el axioma.
Luego z es un conjunto que no contiene el elemento 1, con ello se obtiene
z n x = vacío
Pero el motivo fundamental de este axioma es impedir que haya conjuntos que se contengan a sí mismos.
Conjuntos de la forma
x={1,x}
Eran los que causaban paradojas, como la famosa paradoja de Russell del barbero. Aquí tienes la demostración de eso de que un conjunto no se contiene a si mismo.
Debes tener en cuenta que un conjunto también puede ser un elemento, hay conjuntos cuyos elementos son conjuntos. Cuando se considera la intersección de un elemento que es conjunto con el mismo como conjunto, la intersección es vacía a no ser que el conjunto se contenga a sí mismo.
