Se presenta una ecuación diferencial. La actividad consiste en encontrar la solución general ecuaciones mencionando el método.

·

·

¡Hola Mauricio!

Veo desde aquí que la suma de exponentes de todos los términos que quedarían tras operar el paréntesis es 2, eso nos lleva de cabeza a una ecuación diferencial homogénea.

$$\begin{align}&v(3x+2v)dx-x^2dv=0\\&\\&v(3x+2v)dx=x^2dv\\&\\&\frac{dv}{dx}=\frac{v(3x+2v)}{x^2}\\&\\&\text{Hacemos un cambio}\\&\\&z=\frac vx\implies v=zx\\&\\&\frac{dv}{dx}=\frac{dz}{dx}·x+z=\frac{zx(3x+2zx)}{x^2}\\&\\&\frac{dz}{dx}·x+z =3z+2z^2\\&\\&\frac{dz}{dx}·x =2z+2z^2\\&\\&\text{Es de variables separadas}\\&\\&\frac{dz}{2z+2z^2}=\frac {dx}x\\&\\&\frac 12\int \frac{dz}{z+z^2} = ln|Cx|\\&\\&\frac{1}{2}\int \frac {dz}{z(z+1)} = ln|Cx|\\&\\&\frac{1}{2}\int \left(\frac {a}{z}+\frac{b}{z+1}\right)dz = ln|Cx|\\&\\&\text{Y se ve directamente que es a=1, b=-1}\\&\\&\frac 12(ln|z|-ln|z+1|)=ln|Cx|\\&\\&\text{Y deshacemos el cambio}\\&\\&\frac 12\left(ln\bigg|\frac vx\bigg|-ln\bigg|\frac vx+1\bigg|\right)=ln|Cx|\\&\\&ln\left|\frac{\frac vx}{\frac vx+1}  \right|=2\,ln|Cx|\\&\\&ln\left|\frac{v}{v+x}  \right|=ln|Cx^2|\\&\\& \left|\frac{v}{v+x}  \right|=|C|x^2\end{align}$$

Y eso es todo, saludos.

:

: