Análisis combinatorio. Encontrar el número de soluciones enteras para la ecuación ...
Principio de inclusión-exclusión
- Encontrar el número de soluciones enteras para la ecuación:
$$\begin{align}&x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=19 si -5≤x_{i}≤2, ∀ 1≤i≤4\end{align}$$
1 Respuesta
·
·
¡Hola CarolinaBoni!
Reducimos el problema a uno donde las soluciones valgan entre 0 y algo.
Como pueden valer desde -5 vamos a sumar a todas 5, luego sumamos 20
Entonces el probloema queda
x1+x2+x3+x4 = 39 con 0 <= xi <= 7
En principio son CR(4, 39)
Pero ahora toca hacer la retaila de restar-sumar para eleiminar las respuestas con alguna solución mayor de 7
Primero quitamos las que tienen alguna solución mayor de 7. Para ello restamos 8 a la suma y consideranado que puede ser cualquiera de las 4 son:
- 4·CR(4,31)
Y la siguiente es sumar las que tenían 2 soluciones mayores de 7, luego esta vez se restan 16 y los lugares con esas soluciones altas pueden ser combinaciones de 4 tomadas de de 2
+ C(4,2)·CR(4,23) = +6·CR(4,23)
Ahora viene restar las que tienen tres soluciones mayores de 7
- C(4,3)·CR(4,15) = -4·CR(4,15)
Y por último sumar las que todas las sluciones son mayores de 7
+ C(4,4)·CR(4,7) = + CR(4,7)
En resumen queda:
CR(4, 39) - 4·CR(4,31) + 6·CR(4,23) - 4·CR(4,15) + CR(4,7) =
C(42,39) - 4·C(34,31) + 6·C(26,23) - 4·C(18,15) + C(10,7) =
11480 - 23936 + 15600 - 3264 + 120 = 0
·
Tonto de mí, si estaba claro desde el principio que no podía haber ninguna solución ya que el máximo que podían valer era 8 y se les pedía que sumaran 19.
Si no hay ningún error en el enunciado la respuesta es 0 y sin hacer cuentas apenas.
Saludos.
:
:
