Calcular que ángulos entre 0 y pi radianes tienen tangente mentir que cotangente
Que ángulos del intervalo entre 0 y 180 tienen su tangente menor que la cotangente.
1 Respuesta
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¡Hola Juana!
La tangente es senx/cosx y la cotangente cosx/senx
senx/cosx < cosx/senx
Entre 0 y pi/2 ambas son positivas podemos pasar los denominadores y se respeta el sentido de la desigualdad:
(Senx / cosx)^2 < 1
Como ambos son positivos
senx / cosx < 1
tg x < 1
0 < x < pi/4
Entre pi/2 y pi el coseno es negativo, al pasarlo al otro lado se cambia el sentido de la desigualdad
(senx / cosx)^2 > 1
Como el coseno es negativo
-senx/cosx > 1
-tgx > 1
pi/2 < x < 3pi/4
Luego la solución es:
(0, pi/4) U (pi/2, 3pi/4)
Nótese que no entran los límites, bien sea porque se pide estrictamente menor o porque en alguno de ellos no está definida la función tangente o cotangente al ser cero el denominador.
Y eso es todo, saludos.
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Me cuesta entenderlo... ya que que tangente es positiva en 1 cuadrante y negativa en segundo.. pero ver que es mayor tangente o cotangente me cuesta,,, verlo a partir de la inecuación... planteada.
Es que tienes que tomar la circunferencia y pintar ángulos y el seno y el coseno de cada uno. En el primer cuadrante la tangente y la cotangente son recíprocas, entonces su producto es uno. Cuando una sea mayor de 1 la otra será menor de 1 y el punto donde son iguales es en 45º = pi/4
Entre 0 y pi/4 el seno es menor que el coseno por eso la tangente vale menos de 1 y por lo tanto la cotangente vale más de 1. Luego entre 0 y pi/4 se cumple lo que piden.
Pero cuando pasamos de pi/4 lo mas grande es el seno con lo cual la tangente vale más de 1 y la cotangente menos de 1 y no se cumple.
Ahora vamos al segundo cuadrante. Aqué el coseno es negativo y el seno positivo, entonces tanto la tangente como la cotangente son negativas y la menor será la que tenga más valor absoluto. Y mas valor absoluto se da allá donde el seno es más grande que en valor absoluto que el coseno, eso se da entre 90 y 135º (pi/2 y 3pi/4).
Esta es una forma un poco más visual de resolverlo, la otra era más analítica. Si hace falta haz los dibujos y lo entenderás mejor.
Saludos.
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