¿Se puede considerar subrogación y reclamar mi antigüedad?

Estuve contratado durante dos años por una empresa privada que gano un concurso público para ofrecer servicios de consultoría en la administración pública. La contrata de la administración volvió a salir a concurso y lo gano otra empresa. La empresa anterior, nos finiquito, nos pago la indemnización correspondiente a fin de contrato temporal que suscribimos. A los dos meses, después de cobrar un mes de paro, la nueva empresa me contrato para el mismo puesto que ya desempeñaba, firmando un nuevo contrato de obra y servicio con condiciones parecidas a las que disfrutaba anteriormente, pero no exactamente iguales. La fecha de inicio de la relación laboral del nuevo contrato coincidió con el comienzo del ofrecimiento de los servicios de la nueva contrata. Después de 3 años más trabajando con esta empresa, no hay previsión de que se vaya a renovar el concurso público y todo parece indicar que nos finiquitarán con final de obra.

- ¿Podría reclamar a la nueva empresa o incluso a la administración el reconocimiento de mi antigüedad y que se me indemnice por los 5 años que llevo desempeñando el mismo puesto de trabajo?