Ejercicio de calculo con integrales,método de descomposición de fracciones parciales

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¡Hola Ana!

Lo primero es encontrar las raíces del denominador para saber qué tipo de fracciones simples hay que aplicar.

x^3+2x^2 = x^2(x+2)

Luego tenemos una vez la raíz . 2 y dos veces la raíz 0, las fracciones simples a aplicar en este caso son

$$\begin{align}&\frac{5x^2+3x-2}{x^3+2x^2}=\frac{a}{x+2}+\frac bx+\frac c{x^2}=\\&\\&\frac{ax^2+bx(x+2)+c(x+2)}{x^2(x+2)}=\\&\\&\frac{ax^2+bx^2+2bx+cx+2c}{x^3+2x^2}\\&\\&\text{Las ecuaciones son:}\\&\\&2c=-2\implies c=-1\\&2b+c=3\implies2b-1=3\implies b=2\\&a+b=5\implies a+2=5\implies a=3\\&\\&\text {Y la integral es}\\&\\&\int \frac{3}{x+2}dx+\int \frac{2}{x}dx-\int \frac{1}{x^2}dx=\\&\\&3\,ln|x+2| + 2\,ln|x| +\frac 1x+C\end{align}$$