Procedimiento para resolver una integral

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¡Hola Andrea!

Si lo ponemos en notación exponencial será más sencillo.

$$\begin{align}&\int \sqrt{5x-3}\;dx=\int(5x-3)^{1/2} dx=\\&\\&\text{Esta vez usaremos el cambio de variable}\\&\text{creo que lo habrás dado ya}\\&\\&t=5x-3\\&\\&dt= 5\;dx \implies dx=\frac 15 dt\\&\\&\\&=\int t^{\frac 12}·\frac 15 dt=\\&\\&\text{Hay que recordar que }\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\\&\\&=\frac 15·\frac{t^{3/2}}{\frac 32}+C = \frac 2{15}t^{3/2}+C =\\&\\&\frac 2{15}(5x-3)^{\frac 32}+C= \frac 2{15} \sqrt{(5x-3)^3}\end{align}$$

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una pregunta, ¿También se puede resolver sin cambiar la variable?

Si, pero o lo haces deduciendo cual debe ser la función que al derivarla de la que tenemos o tendrás que aprender nuevas integrales inmediatas.

Sabemos que

$$\begin{align}&([f(x)]^n)'= n·[f(x)]^{n-1}·f'(x)\\&\\&\text{Cuando }f'(x) \text{ es una constante es fácil}\\&\text{realizar los ajustes para encontrar la integral}\\&\text{En concreto puedes deducir esta fórmula}\\&\\&\int (ax+b)^ndx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a·(n+1)}\end{align}$$

Y eso es todo, saludos.

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una pregunta, ¿También se puede resolver sin cambiar la variable?