Aplicando la regla de los signos de descartes, estudiar todas las raíces de :
$$\begin{align}&x^7 - 2x^4 + 5x^3 - 7x^2 = 0\end{align}$$
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Christopher!
Bueno, para empezar podemos extraer el factor x^2 que nos proporciona dos raíces con el valor 0 y queda
x^5-2x^2+5x-7 = 0
Los coeficientes son
1, -2, 5, -7
El número de cambios de signo es 3, luego habrá 3 ó 1 raíces positivas.
Ahora tomemos ese polinomio cambiando x por -x
(-x)^5 -2(-x)^2 + 5(-x) - 7 = 0
-x^5 - 2x^2 - 5x -7 = 0
En este p(-x) no hay ningún cambio de signo, luego no hay ninguna raíz negativa.
Como debe haber 5 raíces y solo hay 3 ó 1 positivas habrá 2 ó 4 complejas por supuesto conjugadas 2 a 2 ya que es un polinomio real.
Y eso es todo, yo no sé si hay que hacer algo más.
Saludos.
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