Solucion de identidades en trigonometria
Solicito de su ayuda para que por favor me digan como se soluciones este ejercicion de identidad:
Demuestre la siguiente identidad, usando las definiciones de las diversas identidades hiperbólicas fundamentales:
Senh2 x (coth2 x – 1) = 1
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Camilo!
Nos dicen que lo demostremos usando las definiciones. Conviene simplificar primero a solo funciones seno y coseno hiperbólicos.
$$\begin{align}&coth \,x=\frac{ch\,x}{sh\,x}\\&\\&luego\\&\\&sh^2x(coth^2x-1)=\\&\\&sh^2x\left( \frac{ch^2x}{sh^2x}-1 \right)=\\&\\&sh^2x\left( \frac{ch^2x-sh^2x}{sh^2x} \right)=\\&\\&ch^2x-sh^2x=\\&\\&\text{y ahora usamos las definiciones de sh y ch}\\&\\&=\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2} \right)^2-\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2} \right)^2=\\&\\&\frac{e^{2x}+e^{-2x}+2}{4}- \frac{e^{2x}+e^{-2x}-2}{4}=\\&\\&\frac{e^{2x}+e^{-2x}+2-e^{2x}-e^{-2x}+2}{4}=\frac 44 = 1\\&\end{align}$$
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Respuesta
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Supongo que quieres decir:
$$\begin{align}&senh^2x (coth^2x -1)=1\\&senh^2x \bigg(\frac{cosh^2x}{senh^2x} -1\bigg)=cosh^2x-senh^2x =\\&\text{Y esa ya es una identidad trigonométrica de las funciones hiperbólicas, y se sabe que }cosh^2x-senh^2x =1\\&\text{(En caso que quieras calcularlo, vayamos a la definición de cosh y senh)}\\&\bigg(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\bigg)^2-\bigg(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\bigg)^2=\frac{(e^x+e^{-x})^2}{4}-\frac{(e^x-e^{-x})^2}{4}=\\&\frac{e^{2x}+2e^xe^{-x}+e^{-2x}}{4}-\frac{e^{2x}-2e^xe^{-x}+e^{2x}}{4}=\frac{e^{2x}+2+e^{-2x}-e^{2x}+2-e^{2x}}{4}=\frac{4}{4}=1\\&\\&\end{align}$$