Cuando se puede derivar por fórmula y cuando por incrementos

Veo que eres muy bueno en matemáticas y necesito mucho de tu experiencia.

Quiero saber la definición de derivada. La busco en internet y la verdad no la comprendo.

Se que se puede derivar por fórmulas y por incrementos.. Pero ¿cuando se puede usar una y cuando se usa la otra.?

¿Para que valores se puede decir que el incremento es igual a la diferencial