Una consulta para algún administrativista!

Un empleado de un ayuntamiento, laboral fijo, profesor del conservatorio de música municipal,
¿Tiene qué pedir compatibilidad para poder trabajar para un conservatorio de conselleria?
Es decir, un laboral indefinido de una administración local necesita pedir la compatibilidad para trabajar en una administración pública perteneciente a la comunidad autónoma?
Gracias por vuestra ayuda ?