Ejercicios de limites con exponentes y logaritmo natural

Son demasiados ejercicios para 1 sola pregunta... te dejo el primero...

$$\begin{align}&1)\lim_{n \to \infty} \frac{3^x}{3^x-2^x}\\&\text{Creo que no hace falta usar logaritmos acá, pues:}\\&\lim_{n \to \infty} \frac{3^x}{3^x-2^x}=\lim_{n \to \infty} \frac{3^x}{3^x(1-\frac{2^x}{3^x})}=\\&\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1-(\frac{2}{3})^x}\\&\text{La fracción del denominador, al tender a infinito tiende a cero (por ser menor que 1)}\\&\text{Así que ese límite tiende a 1...(haciendo abuso de notación)}\\&\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1-0}=1\end{align}$$

Muchas gracias, acabo de hacer el ejercicio 2 pero el ejercicio 3 y 4, no tengo idea de como resolver, me puede ayudar por favor.

Este es mi ejercicio 2:

Respecto a tu ejercicio 2, daría la sensación que está bien lo que hiciste (aunque NO estás usando logaritmos, que era lo que te pedían). Te dejo encarado los ejercicios 2 (con log), 3,4 para que intentes resolverlo por tus medios.

$$\begin{align}&2) \lim_{x \to \infty} (3^x+2^x)^{1/x}\\&\text{Es un límite } \infty^0 \text{, que en principio no se puede resolver directamente, pero manipulemos un poco esa expresión, supongamos que existe el límite y vale L}\\&\lim_{x \to \infty} (3^x+2^x)^{1/x} = L\\&\text{tomando logaritmos a ambos lados}\\&ln(\lim_{x \to \infty} (3^x+2^x)^{1/x}) =ln( L)\\&\lim_{x \to \infty} ln((3^x+2^x)^{1/x}) =ln( L)\\&Ahora\\&\lim_{x \to \infty} ln((3^x+2^x)^{1/x})=\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}ln((3^x+2^x))=\lim_{x \to \infty} \frac{ln((3^x+2^x))}{x}\\&\text{y ahora están en un caso }\infty/\infty \text{que puedes resolver usando L'Hopital}\\&\text{igualmente ojo, porque lo que obtendrás es el log del límite, y no el límite en sí}\\&\\&3) \lim_{x \to \infty} ln(2+3x) - ln x =\\&\text{por propiedades del Log}\\&\lim_{x \to \infty} ln(\frac{2+3x}{x})\\&\\&4) \text{similar al anterior}\\& \lim_{x \to 3} ln |x^2-9| - ln |x-3| =\\& \lim_{x \to 3} ln \frac{|x^2-9|}{ |x-3|}\end{align}$$

Muchas gracias por su respuesta, he logrado resolver el numero 3 y 4, me lo puede revisar por favor. Pero el numero 2 de la forma que me ha indicado con logaritmos no logro terminarlo, no puedo usar L'Hopital porque no he avanzado, debo hacerlo con los limites fundamentales, le muestro hasta donde he llegado, la parte del numerador nose como resolverlo del ejercicio 2.

Este es el ejercicio 2 desde la ultima parte, no se como resolver el limite del numerador, también me puede indicar por favor que pasa con la igualdad osea con Ln(L).

Tu último comentario del ej 2) no es correcto ya que ese denominador tiende a infinito.

Si aplicás L'Hopital en ese caso tendrías

$$\begin{align}&(x)' = 1\\&[ln(3^x + 2^x)]' = \frac{3^x ln\ 3 + 2^x ln\ 2}{3^x+2^x}\\&\text{Por lo tanto}\\&\lim_{x \to \infty} \frac{ln(3^x+2^x)}{x}=\lim_{x \to \infty}  \frac{3^x ln\ 3 + 2^x ln\ 2}{3^x+2^x}\\&\end{align}$$

En ese punto sí creo que deberías usar factor común o encararlo igual que lo habías hecho antes, pues vuelves a tener infinito sobre infinito

Muchísimas gracias, no puedo usar L'Hopital porque no he llevado ese tema. Una pregunta, si digamos el ejercicio solo fuera la parte del denominador como se resolvería, me gustaría que me ayudase a resolver solo denominador ya que tengo varios ejercicios de ese estilo y me ayudaría mucho para poder resolverlos.