Como puedo hallar el vértice, las raíces y el eje de simetría

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Creo que te has dejado el exponente en el primer término

f(x) = - 4x^2 - 7x - 3

El vértice puedes encontrarlo si recuerdas de memoria la fórmula.

Dada una parábola

f(x) = ax^2+ bx + c

su vértice está en

x=-b/(2a)

Fíjate que es como la fórmula de las raíces de segundo grado pero quitando el más-menos y la raíz cuadrada.

Y puedes averiguarlo calculando el máximo o mínimo de la función

Si derivas f(x) = ax^2+bx+c e igualas a 0 tendrás

f'(x) = 2ax + b = 0

2ax = -b

x= -b/(2a)

Y el vertice de la parábola que nos dan está en

x= -(-7)/-8 = -7/8

y su valor es

$$\begin{align}&f\left(-\frac 78\right) = -4\left( -\frac 78\right)^2 - 7\left( -\frac 78\right) - 3=\\&\\&-4·\frac{49}{64}+\frac {49}8 -3=\\&\\&\frac{-196+392-192}{64}=\frac{4}{64}=\frac {1}{16}\\&\\&\text{luego el vértice es}\\&\\&\left(-\frac 78,\frac 1{16}\right)=(0.875, 0.0625)\\&\\&\end{align}$$

Y la recta vertical que pasa por el vértice es el eje de simetria, luego el eje de simetría es

x=-7/8 = -0.875

Para las raíces se reuelve la ecuación de segundo grado

$$\begin{align}&-4x^2-7x-3=0\\&\\&\text{es contraproducente tanto signo menos}\\&\\&4x^2 +7x + 3=0\\&\\&x=\frac{-7\pm \sqrt {49-48}}{8}=\frac{-7\pm 1}{8}=-1\; y\; -\frac 34\end{align}$$

Y eso es todo.