Tema variable compleja sobre logaritmos

$$\begin{align}& \end{align}$$

¡Hola Lizerd!

·

Cuando dices todos los valores de "i" supongo que quieres decir todos los logaritmos posibles.

$$\begin{align}&\text {Dado z en forma polar }\\&z=re^{\theta i}\text{ con }r\gt0\\&entonces\\&ln \,z=\{ln\,r+ \theta i+2k\pi i|k\in \mathbb Z\}\\&\\&\text{El valor principal es el que cumple}\\&-\pi\lt\theta+2k\pi\le\pi\\&\\&A)\quad log\,1=log (1·e^{0i})=\\&\quad\quad\{0+2k\pi i|k\in \mathbb Z\}\\&\\&\\&B)\quad log\,i=log (1·e^{(\pi/2)i})=\\&\quad\quad\bigg\{\frac \pi 2i+2k\pi i\bigg|k\in \mathbb  Z\bigg\}\\&\\&\\&C)\quad log(-i)=log (1·e^{(-\pi/2)i})=\\&\quad\quad\bigg\{-\frac \pi 2i+2k\pi i\bigg|k\in \mathbb  Z\bigg\}\\&\\&\\&D)\quad log(1+i)=log\left(\sqrt 2·e^{(\pi/4)i}\right)=\\&\quad\quad\bigg\{log \sqrt 2+\frac \pi 4i+2k\pi i\bigg|k\in \mathbb  Z\bigg\}\\&\\&\\&E)\quad  (-i)^i= e^{log[(-i)^i]}=e^{i·log(-i)}=\\&\quad\quad e^{i·(-\pi/2)·i}=e^{\pi/2}\\&\\&\\&F)\quad (1+i)^{1+i}=e^{(1+i)log(1+i)}=e^{(1+i)(log \sqrt 2+(\pi/4)i)}=\\&\quad\quad e^{log \sqrt 2+(\pi/4)i+i·log \sqrt 2-\pi/4}=\\&\text{En forma binómica}\\&=\frac{\sqrt 2}{e^{\pi/4}}\bigg[\cos\left(log \sqrt 2+\frac{\pi}{4}  \right)+isen\left(log \sqrt 2+\frac{\pi}{4}  \right)\bigg]\\&\\&\\&G)\quad (-1)^i=e^{i·log(-1)}=e^{i·\pi·i}=e^{-\pi}\\&\\&\\&H)\quad 2^i=e^{i·log\,2}=\cos(log\,2)+i·sen(log\,2)\end{align}$$

Y eso es todo.