¿Cuál es el dominio y el rango de esta función real?

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Hay que simplificar un poco las expresiones. El cuadrado, cubo, etc. tiene una forma de escribirse universal

x^2 es x al cuadrado

x^3 es x al cubo

x^6 es x elevado a la sexta

x^(-1) es x elevado a la -1

Y esta no gusta tanto a la gente, pero es la que hay, la raíz cuadrada es sqrt

Sqrt(x) es raíz cuadrada de x

Sqrt(x^2-x+1) es la raíz cuadrada de (x al cuadrado - x +1)

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Con todo esto tu función es:

g(x) = sqrt(4-x^2)

pusiste z pero supongo que era un error, o bien era

g(x)=sqrt(4-x^2) =, o bien era

g(z)=sqrt(4-z^2)

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Además sabiendo como se escriben las funciones podrás hacer la gráfica en los programas de hacer gráficas. O simplemente si escribes

Sqrt(4-x^2)

En la barra de Google te aparecerá la gráfica

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Y tras estos consejos vamos ya con el ejercicio.

El problema de las raíces cuadradas es que solo tienen valor real cuando el radicando es positivo, ya que todo número real elevado al cuadrado es positivo.

Entonces el dominio son los puntos que cumplen

4 - x^2 >= 0

4 >= x^2

intercambiamos que siempre queda más claro

x^2 <= 4

Y la solución de esto es

-2 <= x <= 2

Si tomamos un numero menor que menos 2 su cuadardo será mayor que 4 y si es mayor que 2 también

Luego

Dom f = [-2, 2]

Y el rango es el dominio de la función inversa.

$$\begin{align}&y=\sqrt{4-x^2}\\&\\&y^2 = 4-x^2\\&\\&x^2=4-y^2\\&\\&x=\sqrt{4-y^2}\\&\\&\text{una vez despejada x, se cambia }x \;por\;f^{-1}(x)\\&\\&\text{y se cambian los y por x}\\&\\&\\&f^{-1}(x) = \sqrt{4-x^2}\end{align}$$

Pero con la funciones de raíces cuadradas hay que hacer un recorte en el dominio de la inversa, el dominio de esta inversa es [-2, 2] pero sabemos que el rango no tiene valores negativos ya que la función raíz cuadrada da siempre un número no negativo.  Estos problemas surgen porque al resolver una ecuación elevadando al cuadrado se añaden soluciones que no erán solución de la original, por ejemplo

x=7

x^2 = 49

x= 7 y -7

Por eso siempre que se resuelve una ecuación elevando al cuadrado, como en las ecuaciones con radicales, hay que revisar y podar las soluciones.

Entonces teniendo en cuenta que el rango tenía que ser no negativo es:

rango f = [0,  2]

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Y eso es todo.