Tengo duda sobre matemática modular
Hola
Necesito que me ayuden a resolver este problema
Halle el resto de dividir 23^ 84292 entre 7
2 respuestas
Busco la secuencia que siguen los restos de las siguientes potencias:
$$\begin{align}&resto(\frac{23^1}{7})=2\\&resto(\frac{23^2}{7})=4\\&resto(\frac{23^3}{7})=1\\&\\&resto(\frac{23^4}{7})=2\\&resto(\frac{23^5}{7})=4\\&resto(\frac{23^6}{7})=1\\&\\&resto(\frac{23^7}{7})=2\\&resto(\frac{23^8}{7})=4\\&resto(\frac{23^9}{7})=1\\&\end{align}$$Como ves siguen la secuencia: 2,4,1,2,4,1,2,4,1
Como el periodo es 2,4,1 solo tengo que dividir el exponente entre 3 y da:
$$\begin{align}&\frac{84292}{3}=28097,33333\end{align}$$28097 es el número de veces que se repite la secuencia 2,4,1 y eso no te interesa
Lo que de verdad te interesa es el decimal 0,333333... que te indica que el resto de:
$$\begin{align}&resto(\frac{23^{84292}}{7})=2\end{align}$$
Si al dividir el exponente te hubiera dado xxx, 666666... el resto seria el segundo dígito de la secuencia {2,4,1} es decir el número 4
Si al dividir el exponente te hubiera dado un número entero (sin decimales) entonces el resto seria el tercer dígito de la secuencia {2,4,1} es decir el número 1
·
Lo haremos ligeramente distinto, usando más las propiedades de las congruencias.
$$\begin{align}&23^n =(2+21)^n=2^n+2^{n-1}·21+2^{n-2}·21^2+...+21^n=\\&\\&\text{Todos menos el primero son múltiplos de 21}\\&\\&=2^n + 21k = 2^n+3·7k=2^n+7c\\&\\&\text{Tomando congruencias}\\&\\&23^n\equiv2^n+7c\quad (mod\; 7)\\&\\&23^n\equiv 2^n\quad(mod\;7)\\&\\&\text{Con esto es más facíl calcular los restos}\\&\\&23^1\equiv2^1\equiv2\quad (mod\; 7)\\&23^2\equiv2^2\equiv 4\quad (mod\; 7)\\&23^3\equiv2^3\equiv8\equiv 1\quad(mod\;7)\\&\\&\text{Ya vale, solo necesitamos encontrar el resto 1}\\&\\&\frac{84292}3=28097\\&\\&3·28097= 84291\\&\\&\text{Luego}\\&\\&84292=3·28097+1\\&\\&\text {entonces}\\&\\&23^{84292}\equiv2^{84292}=2^{3\,·\,28097+1}= (2^3)^{28097}·2\equiv\\&\\&1^{28097}·2 =2 \quad(mod\;7)\\&\\&\end{align}$$Y eso es todo.