Calcular integrales definidas y con sustitucion

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Intenta escribirlas así:

∫_0^2  3^(1-x) dx

∫_-4^0  1/(x+5) dx

Si no encuentras el símbolo ∫ escribe int

int_0^2  3^(1-x) dx

int_-4^0  1/(x+5)dx

Y es importante que delante del límite superior o de los exponentes aparezca el símbolo ^, si no pones ese símbolo no hay potencia detrás, y todo lo que sea exponente o sea numerador o sea denominador debe ir entre paréntesis, porque si no, cómo sabemos hasta dónde llega. Por suerte ya conozco estos ejercicios y los resolveré tal como son. Lo que pasa es que yo los resolvía sin sustitución porque es una sustitución insignificante, pero como dices que con sustitución, lo haré con ella.

$$\begin{align}&\int_0^23^{1-x}dx=\\&\\&t=1-x\\&dt = -dx \implies dx=-dt\\&x=0\implies t=1-0=1\\&x=2\implies t=1-2=-1\\&\\&\int_1^{-1}3^t (-dt)=-\int_1^{-1}3^t dt=\\&\\&\text{multiplicamos y dividimos por }ln\,3\\&\\&-\frac{1}{ln\,3}\int_1^{-1} 3^tln\,3\;dt=\\&\\&\left.-\frac{1}{ln3}·3^t  \right|_1^{-1}=-\frac{1}{ln3}\left(\frac 13-3  \right)=\\&\\&-\frac 1{ln\,3}·\left(-\frac 83  \right)=\frac{8}{3ln\,3}\\&\\&-------------------\\&\\&\int_{-4}^0 \frac{1}{x+5}dx=  \\&\\&t=x+5\\&dt=dx\\&x=-4\implies t=-4+5=1\\&x=0\implies t=0+5=5\\&\\&\left.\int_0^5 \frac 1t dt=ln|t|\right|_1^5=ln\,5-ln\,1=ln\,5\end{align}$$

A lo mejor te has hecho un lio por cambiar los límites de integración en el cambio de variable, pero es la manera ortodoxa de hacerlo.  Te adjunto también la frma de hacerlo sin sustitución que es menos liosa.

$$\begin{align}&\int_0^23^{1-x}dx=\frac{-1}{ln\,3}\int_0^2-3^{1-x}ln\,3\;dx=\\&\\&\left. -\frac{1}{ln3}3^{1-x}  \right|_0^2=-\frac{1}{ln\,3}(3^{-1}-3^1)=\\&\\&-\frac{1}{ln\,3}\left(\frac 13-3  \right)=-\frac{1}{ln\,3}\left(-\frac 83  \right)=\frac{8}{3\,ln\,3}\\&\\&-------------------\\&\\&\left.\int_{-4}^0 \frac{1}{x+5}dx=  ln|x+5|\right|_{-4}^0=\\&\\&ln|0+5|-ln|-4+5|=ln\,5-ln\,1=ln\,5\end{align}$$

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Y eso es todo.