Determinar la integral de las siguientes funciones: d) ∫_2^4▒x/(x^2-1) dx e) ∫_0^1▒〖xe^0.5x 〗 dx

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La primera es una definida, podría resolverse por cambio de variable, pero como es muy sencillo la haremos multiplicando y dividiendo por una constante para dejar dentro de la integral una derivada exacta. La segunda es una definida que se resuelve por partes, ya te pondré la fórmula al principio.

$$\begin{align}&\int_2^4 \frac{x}{x^2-1}dx=\frac 12\int_2^4 \frac{2x}{x^2-1}dx=\\&\\&\text{Y lo de dentro es la derivada de un logaritmo neperiano}\\&\\&\left.=\frac 12 ln|x^2-1|  \right|_2^4=\frac 12\left(ln|4^2-1|-ln|2^2-1| \right)=\\&\\&\frac 12(ln\,15-ln\,3) = \frac 12 ln\left(\frac {15}3  \right)= \frac 12 ln 5\\&\\&\text {podrías incluso poner } ln \sqrt 5\text{ aunque no lo veo mejor}\\&\\&\\&-------------------------\\&\\&\\&\text{Esta es la fórmula para integrar por partes}\\&\int u\,dv=uv-\int v\,du\\&\\&\\&\\&\int xe^{0.5x}dx =\\&\\&u=x \quad\quad\quad\quad du=dx\\&dv=e^{0.5x}dx \quad v=2e^{0.5x}\\&\\&= 2xe^{0.5x}|_0^1-\int_0^1 2e^{0.5x}dx=\\&\\&2e^{0.5}-0 -\left[4e^{0.5x}  \right]_0^1 =\\&\\&2e^{0.5}-4e^{0.5}+4e^0=4-2e^{0.5}\end{align}$$

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Y eso es todo.