Calculo: Dada la siguiente función calcular

·

Por definición la derivada en 0 será

$$\begin{align}&f'(0) = \lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\\&\\&\lim_{h \to 0}{\frac{\frac{senh}{h}-1}{h}}=\lim_{h\to 0}\frac{senh-h}{h^2}=\\&\\&\text{Y este límite habrá que calcularlo po r l'Hôpital}\\&\text{también podria hacerse por Taylor pero cuesta más.}\\&\text{tendremos que derivar dos veces}\\&\\&=\lim_{h \to 0} \frac{cosh -1}{2h}=\lim_{h\to 0}\frac{-senh}{2}=0\\&\\&\text{Luego } f'(0)=0\end{align}$$

·

Para la derivada segunda en los puntos distintos de 0 haremos la derivada segunda normal

$$\begin{align}&f(x) = \frac{senx}{x}\\&\\&f'(x) = \frac{x·cosx -senx}{x^2}\\&\\&f''(x)=\frac{(cosx-x·senx-cosx)x^2-2x(x·cosx-senx)}{x^4}=\\&\\&\frac{-x^3senx -2x^2cosx+2x·senx}{x^4}=\\&\\&\frac{(2-x^2)senx-2x·cosx}{x^3}\\&\\&\text{Y en el punto x=0 será}\\&\\&f''(0) = \lim_{h\to 0}\frac{f'(0+h)-f'(0)}{h}=\\&\\& \lim_{h\to 0}\frac{\frac{h·cosh -senh}{h^2}-0}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{h·cosh-senh}{h^3}=\frac 00=\\&\\&\text{habrá que aplicar l'Hôpital una vez ahora}\\&\\&=\lim_{h\to 0} \frac{cosh-h·senh-cosh}{3h^2}=\lim_{h\to 0}\frac{-senh}{3h}=\\&\\&\text{Y este ya es un límite notable}\\&=-\frac 13·\lim_{h\to 0} \frac{senh}{h}=-\frac 13·1 = -\frac 13\\&\\&\text{Luego }f''(0)=-\frac 13\end{align}$$