¿Cuántos términos necesito para llegar a la suma?

$$\begin{align}& \end{align}$$

¡Hola Mciao!

·

Supongo que querías decir sumatorio de los 1/i

Para obtener la solución exacta habría que hacerlo manualmente, supongo.

Lo que puede hacerse es aproximar la serie por la integral

$$\begin{align}&\sum_{i=1}^n \frac 1i\approx \int_1^{n+1}\frac {dx}x = ln(n+1)\\&\\&\text{o por esta otra}\\&\\&\sum_{i=1}^n \frac 1i\approx \int_{0.5}^{n+0.5}\frac {dx}x = \\&\\&ln(n+0.5)-ln(0.5)=ln(n+0.5)+0.693\end{align}$$

La primera integral es estrictamente menor que la suma, la segunda no puedo garantizar si es mayor o menor, pero es más exacta seguro.

ln(n+0.5)+0.693 >= 20

ln(n+0.5) >=19.307

n+0.5 >= e^(19.307)

n+0.5 >= 242618303.8

n >= 242618303.3

¡Uff! No pensaba yo que saldría un número tan grande, había pensado hacer la comprobación a mano, tendrá que ser por ordenador.

Este pequeño programa en C

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
    double s,i;
    char a;
    s = 0;
    for (i = 1; i <= 242618303; i++) s = s + 1 / i;
    printf("%f",s);
    scanf_s("%s",&a);
    return 0;
}

me ha dado 19.884216

Veamos como con el n obtenido de la primera integral

ln(n+1) >= 20

n+1 >= e^20

n >= 485165196.4

Poniendo en ese programa i <= 485165196 ha dado 20.577216 nos hemos pasado un poquito

Pues lo que queda es ajustarlo bien con este programa

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
    double s,i;
    char a;
    s = 0;
    for (i = 1; s <= 20; i++) s = s + 1 / i;
    printf("Suma = %f",s);
    printf("   i= %f", i);
    scanf_s("%s",&a);
    return 0;
}

Y el resultado es

s=20.000000

i=272400601

Ese 272.400.601 sería el número de sumandos.

------

Como seguramente no te dejarán hacer todo esto hay otra forma que es

1=1

1/2 = 1/2

1/3+1/4 > 1/4 + 1/4 = 1/2

1/5+1/6+1/7+1/8 > 1/8+1/8+1/8+1/8 = 1/2

Para sumar 1/2 se necesita en cada paso el doble de términos

Para llegar a sumar 20 se necesitaría esta cantidad de términos

1 --->1

1.5 --->2

2 -----> 4 = 2^2

2.5 ----> 8 = 2^3

3   -----> 16 = 2^4

3.5 ----> 32 = 2^5

....

n -----> 2^(2n-2)

 Luego para llegar a 20 se necesitarían

2^(2·20-2) = 2^38 = 2.7487790609 · 10^11

Vaya, esta aproximación es muy mala, es un número de 12 cuando solo se necesitan 9.

Luego es mucho mejor sin llegar a ser exacta la que se obtiene a partir de ln(n+1) y la que más se aproxima es la que se obtiene de

ln(n+0.5)+0.693

Aunque esta se queda un poco corta.

·

Y eso es todo.

Lo de la programación no se me ocurrió, pero si lo de agrupando en términos de 1/2, aunque la respuesta fue muy lejana. Hay una formula que te da el numero exacto de términos que necesitas poniendo la suma, es

f(n) = [[e^(n - y) + 1/2]], donde "y" es la constante de Euler-Masheroni que vale aproximadamente 0.5721. Lo malo es que esa formula aún no está demostrada al parecer, o no funciona, por allí dicen que para sumas grandes como suma = 100 hay problemas en redondeo. No la quiero exponer en clase porque no hay una demostración.

Pero me quedo con los métodos que usted hizo como el de la Integral.

¡Muchas gracias Valero!