Ecuaciones diferenciales con solución única

Para que se cumpla el teorema de existencia y unicidad de una ecuación diferencial en el punto (xo, yo) debe cumplirse que dada

f(x,y) = dy/dx

La función f(x, y) y su derivada parcial respecto de y, fy(x, y) sean continuas en un rectángulo que contiene al punto (xo, yo)

a)

f(x,y) = y^(1/2)

fy(x,y) =(1/2)y^(-1/2)

(xo,yo)=(1,0)

No se cumple la condición ya que fy(x, y) es discontinua en (1,0)

Pero sin embargo existe esa solución

$$\begin{align}&\frac{dy}{dx}=\sqrt y\\&\\&\frac{dy}{\sqrt y}=dx\\&\\&2 \sqrt y=x+C\\&\\&y=\left(\frac x2+C\right)^2\\&\\&\text{para pasar por (1,0)}\\&\\&0=\left(\frac 12+C  \right)^2\\&\\&C=-\frac 12\\&\\&y=\frac{(x-1)^2}{4}\\&\\&\text{comprobamos que cumple}\\&\\&\frac {dy}{dx}=\frac{x-1}{2}= \sqrt y\end{align}$$

Bueno, pues no sé si era ese el teorema de existencia y unicidad que había que usar.  Pero para la primera ecuación no ha servido.

Veo que eres nueva. La norma es que cada pregunta solo puede contener un ejercicio. Luego deberías mandar otras tres preguntas si quieres que hagamos los otros tres.