Integral por cambio de variable o sustitución
$$\begin{align}&\int \sec^4(2x)tan(2x)dx\end{align}$$tomo como u= tan(2x)
du=sec^2(2x) ???
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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No es ese el cambio adecuadao para esta integral.
$$\begin{align}&\int \sec^4(2x)tg(2x)dx=\\&\\&u=sec(2x)\\&du=2·sec(2x)·tg(2x)dx \implies\\&sec(2x)·tg(2x)=\frac 12du\\&\\&=\frac 12\int u^3du =\\&\\&\frac{1}{2}\frac{u^4}{4}+C = \frac{u^4}{8}+C=\\&\\&\frac{sec^4(2x)}{8}+C\end{align}$$Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pregúntame. Y si ya está bien, no o0lvides puntuar.
pero por que queda u^3 no es u ^4 el de la sec^4 original!!! no entiendo esa parte
Una de las secantes se necesita par la diferencial se u, por eso queda u³.
Te hago lo mismo con un par más de detalles.
$$\begin{align}&\int \sec^4(2x)·tg(2x)dx=\\&\\&\int \sec^3(2x)·sec(2x)·tg(2x)dx\\&\\&u=sec(2x)\\&du=2·sec(2x)·tg(2x)dx \implies\\&sec(2x)·tg(2x)=\frac 12du\\&\\&=\int u^3·\frac 12du =\\&\\&\frac 12\int u^3\;du=\\&\\&\frac{1}{2}\frac{u^4}{4}+C = \frac{u^4}{8}+C=\\&\\&\frac{sec^4(2x)}{8}+C\end{align}$$
